Rozwiaz rownanie.

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
MarlenQs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 14 paź 2008, o 00:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: CB

Rozwiaz rownanie.

Post autor: MarlenQs » 29 cze 2011, o 09:20

\(\displaystyle{ y'+ \frac{1-2x}{x^2} y=1}\) i \(\displaystyle{ xy'- \frac{y}{x+1} =x}\)

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

Rozwiaz rownanie.

Post autor: Funktor » 29 cze 2011, o 10:53

To są 2 oddzielne równania czy układ ?

MarlenQs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 14 paź 2008, o 00:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: CB

Rozwiaz rownanie.

Post autor: MarlenQs » 29 cze 2011, o 10:56

2 oddzielne

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

Rozwiaz rownanie.

Post autor: Funktor » 29 cze 2011, o 11:37

Ok, więc co do pierwszego to jest prosto, jest to równanie o rozdzielonych zmiennych, przenieś człon w którym jest x na lewą stronę i sprowadź \(\displaystyle{ 1}\) i ten składnik do wspólnego mianownika. Następnie uzyskane wyrażenie pomnóż przez różniczkę x i podziel przez y, ponadto możesz wykonać dzielenie w tym składniku przy \(\displaystyle{ dx}\), wyrażenie jest gotowe do odcałkowania.-- 29 cze 2011, o 11:47 --Jak rozwiążesz to zrobimy drugie , ale zaraz muszę lecieć więc może potem : )

mattmiller
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 8 sty 2007, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nie wiem

Rozwiaz rownanie.

Post autor: mattmiller » 29 cze 2011, o 17:34

w drugim podziel przez x i tez jest o rozdzielonych zmiennych'

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6743
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1221 razy

Rozwiaz rownanie.

Post autor: mariuszm » 11 wrz 2011, o 07:16

To są równania liniowe nie o rozdzielonych zmiennych
(przynajmniej ja nie widzę jak rozdzielić)


1)

\(\displaystyle{ y^{\prime}+\frac{1-2x}{x^2}y=1\\ y^{\prime}+\frac{1-2x}{x^2}y=0\\ \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=\frac{2x-1}{x^2}y\\ \frac{\mbox{d}y}{y}=\frac{2x-1}{x^2}\mbox{d}x\\ \ln{|y|}=2\ln{|x|}+\frac{1}{x}+C\\ y=Cx^2e^{\frac{1}{x}}\\ y\left(x\right)=C\left(x\right)x^2e^{\frac{1}{x}}\\ C^{\prime}\left(x\right)x^2e^{\frac{1}{x}}+C\left(x\right)e^{\frac{1}{y}}\left(2x-1\right)+C\left(x\right)e^{\frac{1}{y}}\left(1-2x\right)=1\\ C^{\prime}\left(x\right)x^2e^{\frac{1}{x}}=1\\ C^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{x^2}e^{-\frac{1}{x}}\\ C\left(x\right)=e^{-\frac{1}{x}}+C\\ y=x^2\left(1+Ce^{\frac{1}{x}}\right)}\)

2)

\(\displaystyle{ xy^{\prime}-\frac{y}{x+1}=x\\ xy^{\prime}-\frac{y}{x+1}=0\\ x\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=\frac{y}{x+1}\\ \frac{\mbox{d}y}{y}=\frac{\mbox{d}x}{x\left(x+1\right)}\\ \frac{\mbox{d}y}{y}=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\mbox{d}x\\ \ln{|y|}=\ln{|\frac{x}{x+1}|}+C\\ y=C\frac{x}{x+1}\\ y=C\left(1-\frac{1}{x+1}\right)\\ y\left(x\right)=C\left(x\right)\left(1-\frac{1}{x+1}\right)\\ x\left(C^{\prime}\left(x\right)\cdot \frac{x}{x+1}+\frac{C\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}\right)-\frac{C\left(x\right)x}{\left(x+1\right)^2}=x\\ C^{\prime}\left(x\right)\cdot\frac{x^2}{x+1}=x\\ C^{\prime}\left(x\right)=\frac{x+1}{x}\\ C\left(x\right)=x+\ln{|x|}+C\\ y=\frac{x^2+x\ln{|x|}+Cx}{x+1}}\)

ODPOWIEDZ