Całka potrójna ograniczona płaszczyznami

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
estradowiec
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 29 cze 2011, o 00:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Całka potrójna ograniczona płaszczyznami

Post autor: estradowiec » 29 cze 2011, o 01:43

Witam,
mam pewien problem z zadaniem. Ogólnie rozwiązanie jest proste jak zawsze, ale mam problem z zaczęciem.
Otóż:
Oblicz całkę
\(\displaystyle{ \iiint zdxdydz}\) ograniczoną płaszczyznami \(\displaystyle{ z=3-x^2-y^2}\) oraz \(\displaystyle{ z=0}\)

wyszło, w rysunku 3d, że to parabola, wygląda jak "czapka" o wierzchołku S(0,0,3), obcięta przez płaszczyznę Ox,Oy. Wyliczyłem że jej przecięcia z osiami Ox i Oy, to \(\displaystyle{ P(0,\sqrt{3},0), P(0,-\sqrt{3},0), P(\sqrt{3},0,0),P(-\sqrt{3},0,0)}\)
Użyłem więc następujących zależności:
\(\displaystyle{ -\sqrt{3}\le x \le\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ - \sqrt{3-x^2} \le y \le \sqrt{3-x^2}}\)
\(\displaystyle{ 0 \le z \le 3-x^2-y^2}\)

Niestety wychodzą kosmiczne wyniki. Pewnie jest gdzieś mały błąd. Prosiłbym o pomoc, egzamin za dwa dni.

Wynik powinien wyjść: \(\displaystyle{ \frac{9\pi}{2}}\)
Patrząc na wynik, gdzieś pewnie będzie arkus po całkowaniu, lub rozwiązanie sferyczne (ale nie ma przecież kuli..)
Ostatnio zmieniony 29 cze 2011, o 12:15 przez estradowiec, łącznie zmieniany 3 razy.

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Całka potrójna ograniczona płaszczyznami

Post autor: pyzol » 29 cze 2011, o 11:55

Wprowadź zmienne walcowe.

estradowiec
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 29 cze 2011, o 00:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Całka potrójna ograniczona płaszczyznami

Post autor: estradowiec » 29 cze 2011, o 12:38

Wprowadziłem takie dane do całki:
\(\displaystyle{ 0 \le r \le \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ 0 \le z \le 3}\)
Nie wyszło...
Wydaje mi się, że to jest źle. Bo parabola nie jest jakby walcem...

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Całka potrójna ograniczona płaszczyznami

Post autor: pyzol » 29 cze 2011, o 13:01

\(\displaystyle{ 0 \le z \le 3-r^2}\)

estradowiec
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 29 cze 2011, o 00:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Całka potrójna ograniczona płaszczyznami

Post autor: estradowiec » 29 cze 2011, o 13:21

O wyszło. Dzięki. Oświecisz mnie dlaczego \(\displaystyle{ 3-r^2}\)?

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Całka potrójna ograniczona płaszczyznami

Post autor: pyzol » 29 cze 2011, o 13:52

Sam to napisałeś...
\(\displaystyle{ 0 \le z \le 3-x^2-y^2}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2=r^2}\)

ODPOWIEDZ