Zbieżność szeregu - kr. Cauchy'ego zamiast Leibnitz'a

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
bigmen
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 13 paź 2010, o 16:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: C:\Program Files
Podziękował: 8 razy

Zbieżność szeregu - kr. Cauchy'ego zamiast Leibnitz'a

Post autor: bigmen » 28 cze 2011, o 22:18

Witam,

Mam taki oto szereg:

\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } (-1)^n \frac{12^n}{3^n+8^n}}\)

Kryterium Leibnitz'a niestety odpada, bo granica tego wyrazu jest różna od 0.

Spróbowałem użyć kryterium Cauchy'ego, ale tutaj mam problem, ponieważ nie wiem jak potraktować \(\displaystyle{ ((-1)^n) ^{(1/n)}}\).

Wolfram sugeruje że wynikiem powyższego wyrażenia jest 1, a ja chciałbym się dowiedzieć, czemu nie -1 :).

PS. Gdy przyjmiemy, że to jest 1, to wtedy granica wychodzi ładnie \frac{3}{2} , a więc szereg jest rozbieżny. Z drugiej strony po wklepaniu tego szeregu do wolframa, pokazuje jakiś tam wynik, więc z tego wynika że jest zbieżny. Proszę o jakieś sugestie :).

xanowron
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

Zbieżność szeregu - kr. Cauchy'ego zamiast Leibnitz'a

Post autor: xanowron » 28 cze 2011, o 22:19

Warunek konieczny sprawdzałeś?

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Zbieżność szeregu - kr. Cauchy'ego zamiast Leibnitz'a

Post autor: Lorek » 28 cze 2011, o 22:22

Poza tym w kryterium Cauchy'ego nie ma szans, żeby się pojawiło \(\displaystyle{ (-1)^n}\).

bigmen
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 13 paź 2010, o 16:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: C:\Program Files
Podziękował: 8 razy

Zbieżność szeregu - kr. Cauchy'ego zamiast Leibnitz'a

Post autor: bigmen » 28 cze 2011, o 22:28

Dzięki za odpowiedzi.

Przy warunku koniecznym wychodzi \(\displaystyle{ \frac{(-1)^n}{0}}\) czyli naprzemiennie + i - nieskończoność? Więc wygląda na to że będzie rozbieżny.

Ok. Zapamiętam żeby nie tykać kryt. Cauchy'ego jeśli mamy \(\displaystyle{ (-1)^n}\) :).

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Zbieżność szeregu - kr. Cauchy'ego zamiast Leibnitz'a

Post autor: Lorek » 28 cze 2011, o 22:34

[quote]Ok. Zapamiętam żeby nie tykać kryt. Cauchy'ego jeśli mamy (-1)^n :). [/quote]
Nie o to chodzi, że nie możesz tykać, bo możesz, tylko o to, żebyś pamiętał, że granica z kryterium w pełnej wersji wygląda tak:
\(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}\)
a że czasem da się uprościć do \(\displaystyle{ \lim \sqrt[n]{a_n}}\) to nie znaczy, że zawsze.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9331
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2041 razy

Zbieżność szeregu - kr. Cauchy'ego zamiast Leibnitz'a

Post autor: Dasio11 » 29 cze 2011, o 09:59

Bardziej chodzi o ten moduł, który likwiduje \(\displaystyle{ -1,}\) niż o kwestię \(\displaystyle{ \lim \slash \limsup}\) :]

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Zbieżność szeregu - kr. Cauchy'ego zamiast Leibnitz'a

Post autor: Lorek » 29 cze 2011, o 12:39

No, dokładnie, ale tak ogólnie napisałem (swoją drogą to w życiu chyba tylko raz czy dwa spotkałem się z koniecznością użycia \(\displaystyle{ \limsup}\) zamiast \(\displaystyle{ \lim}\)).

A wracając do zadania to ten warunek konieczny jakoś dziwnie sprawdzony.

bigmen
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 13 paź 2010, o 16:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: C:\Program Files
Podziękował: 8 razy

Zbieżność szeregu - kr. Cauchy'ego zamiast Leibnitz'a

Post autor: bigmen » 29 cze 2011, o 15:58

Lorek pisze:No, dokładnie, ale tak ogólnie napisałem (swoją drogą to w życiu chyba tylko raz czy dwa spotkałem się z koniecznością użycia \(\displaystyle{ \limsup}\) zamiast \(\displaystyle{ \lim}\)).

A wracając do zadania to ten warunek konieczny jakoś dziwnie sprawdzony.
Czemu dziwnie ? Podzieliłem wszystko przez największą liczbę, czyli \(\displaystyle{ 12^n}\)

xanowron
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

Zbieżność szeregu - kr. Cauchy'ego zamiast Leibnitz'a

Post autor: xanowron » 29 cze 2011, o 16:08

To świetnie, ale dlaczego przy granicy zostało Ci "n" w wykładniku? I ja bym podzielił wszystko przez \(\displaystyle{ 8^n}\), może wtedy coś zobaczysz.

ODPOWIEDZ