równanie różniczkowe II rzędu

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
kullcia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 25 lut 2010, o 09:08
Płeć: Kobieta
Podziękował: 28 razy

równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: kullcia » 28 cze 2011, o 16:51

Witam,

Natrafiłam na mały problem... Mam zadanie:
Rozwiąż równanie różniczkowe \(\displaystyle{ 2yy'-3y'^2=4y^2}\). Najpierw spróbowałam podstawienia \(\displaystyle{ y'=u(y)}\) ale jakoś mi to nie szło więc spróbowałam podstawienia \(\displaystyle{ y=e^{u(x)} \Rightarrow y'=e^{u}u'}\) i dostałam:
\(\displaystyle{ 2e^{2u}u'-3e^{2u}u'^{2}=4e^{2u}}\) podzieliłam wszytsko stronami przez \(\displaystyle{ e^{2u}}\)
i otrzymałam \(\displaystyle{ 2u'-3u'^2-4=0}\) co teraz?? mam z tego z podstawienia \(\displaystyle{ u'=p(x)}\) zrobić funkcję kwadratową (jeśli tak to Delta wychodzi mi mniejsza od 0). Mam gdzieś błąd którego nie widzę, czy mam zrobić to jakoś inaczej??

Proszę o pomoc

octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: octahedron » 28 cze 2011, o 21:03

\(\displaystyle{ 2yy'-3y'^2=4y^2\\
y'^2-\frac{2}{3}yy'+\frac{1}{9}y^2=-\frac{11}{9}y^2\\
\left( y'-\frac{1}{3}y\right)^2=-\frac{11}{9}y^2\\}\)

Jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ y(x)=0}\)

kullcia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 25 lut 2010, o 09:08
Płeć: Kobieta
Podziękował: 28 razy

równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: kullcia » 28 cze 2011, o 22:22

dziękuję:) choć pewnie na egzaminie bym na to nie wpadła... a można ewentualnie zastosować tu jakies podstawienie?

octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: octahedron » 29 cze 2011, o 02:10

Podstawienie nic nie da, bo to jedyne rozwiązanie, innego być nie może. W tego typu równaniu można spróbować tak:
\(\displaystyle{ 2yy'-3y'^2=4y^2\ /:y^2\\
-3\left(\frac{y'}{y}\right)^2 +2\left(\frac{y'}{y}\right)-4=0\\
-3t^2 +2t-4=0\\}\)

Gdyby tu wyszły jakieś pierwiastki, to wtedy dostajemy równania o zmiennych rozdzielonych:
\(\displaystyle{ \frac{y'}{y}=t_o\\
y=Ce^{t_ox}\\}\)

i zależnie od liczby pierwiastków mamy dwa lub jedno rozwiązanie

mattmiller
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 8 sty 2007, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nie wiem

równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: mattmiller » 29 cze 2011, o 17:38

ale pierwiastki przeciez mogą byc zespolone ...

octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: octahedron » 29 cze 2011, o 17:54

Ale wtedy rozwiązanie też będzie funkcją zespoloną...

ODPOWIEDZ