Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.

Post autor: dawid.barracuda » 28 cze 2011, o 15:28

Witam. Mam takie zadanie:
W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątna BC = 6cm, a przeciwprostokątna AB = 10cm. Dwusieczna kąta ABC i dwusieczna kąta do niego przyległego przecinają przyprostokątną AC i jej przedłużenie w punktach D i E. Obliczyć odcinek DE.
Mam rysunek, policzoną przyprostokątną i odcinek DC = 3cm. Zadanie wiem, że jest do zrobienia bez funkcji trygonometrycznych.
Dla informacji nazwa zbioru: "Zbiór zadań maturalnych i egzaminacyjnych. Część druga. Geometria i trygonometria. 1962r."
Proszę o pomoc i pozdrawiam!

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.

Post autor: Majeskas » 28 cze 2011, o 15:43

A jaki to jest kąt przyległy do \(\displaystyle{ \sphericalangle ABC}\)?

Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.

Post autor: dawid.barracuda » 28 cze 2011, o 15:50

Proszę mi z góry wybaczyć niewiedzę, jeśli źle odpowiem :] Wydaje mi się, że to kąt od wierzchołka A, przechodzi przez B i jest ograniczony przez prostopadłe do podstawy o dł. 6 ramię. Chociaż wiem, że suma miar tych kątów powinna dać 180st. a daje 90, jednak jakby to zrobić wg. tej definicji, to dwusieczna nie przetnie się z przedłużeniem przyprostokątnej AC. Gdzie jest błąd w moim rozumowaniu? Jeszcze raz przepraszam, jeśli wypisałem tu bzdury.

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.

Post autor: Majeskas » 28 cze 2011, o 16:05

Spokojnie. nie jestem jakimś mędrcem albo kapłanem, żebyś musiał się kajać i przepraszać, jeśli nawet wypisałeś jakieś bzdury.

Tzn. coś tu jest nie tak. Sprawdziłem dla pewności w tablicach matematycznych i jest tak, jak myślałem. Kąty przyległe to po prostu kąty wypukłe, które mają wspólne ramię, a pozostałe ich ramiona dopełniają się do prostej i w związku z tym, ich suma wynosi \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\). Czy przytoczyłeś w pełni dokładnie treść zadania?

Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.

Post autor: dawid.barracuda » 28 cze 2011, o 16:45

Tak, treść zadania jest poprawna.

mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4615
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.

Post autor: mat_61 » 28 cze 2011, o 17:15

Kąt przyległy do kąta ABC, to kąt CBF (lub ABG: patrz dalsza część postu):


dawid.barracuda pisze:Wydaje mi się, że to kąt od wierzchołka A, przechodzi przez B i jest ograniczony przez prostopadłe do podstawy o dł. 6 ramię.
Oczywiście istnieją dwa kąty przyległe do kąta ABC. Wg Twojego opisu powinno być tak:

to kąt od wierzchołka A, przechodzi przez B i jest ograniczony przez przedłużenie boku CB

Jeżeli punkt na tym przedłużeniu (u góry na rysunku) oznaczysz np. przez G, to będzie to kąt ABG. Oczywiście dwusieczna kąta CBF jest także dwusieczną kąta ABG ponieważ są to kąty wierzchołkowe. Dla rozwiązania zadania nie ma więc znaczenia który z tych dwóch kątów oznaczysz na rysunku.

Teraz sobie poradzisz?
Jakby co to jeszcze dodatkowa wskazówka: Co można powiedzieć o trójkątach BCD oraz ECB?

Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.

Post autor: dawid.barracuda » 28 cze 2011, o 21:44

Trójkąty BCD oraz ECB mają wspólną jedną długość, tak? Czy coś jeszcze można dodać? Chyba potrzebuję jeszcze jakąś wskazówkę do tego zadania.

mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4615
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.

Post autor: mat_61 » 28 cze 2011, o 23:18

Te trójkąty są podobne* (wiesz dlaczego?)
Jakim trójkątem jest trójkąt BDE?

(*) Pozwala to bardzo łatwo obliczyć długość odcinka CE

Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.

Post autor: dawid.barracuda » 29 cze 2011, o 12:15

Dobrze widzę, że trójkąt BDE jest prostokątny? AA trójkąty BCD oraz ECB są podobne na zasadzie bkb?

mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4615
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.

Post autor: mat_61 » 29 cze 2011, o 14:29

dawid.barracuda pisze:Dobrze widzę, że trójkąt BDE jest prostokątny?
Tak jest prostokątny, ale tutaj nie chodzi o dobre widzenie, tylko o matematyczne uzasadnienie dlaczego tak jest.
dawid.barracuda pisze:A trójkąty BCD oraz ECB są podobne na zasadzie bkb?
Nie. Na razie znasz długość jednej przyprostokątnej jednego trójkąta i dwóch przyprostokątnych drugiego trójkata. To za mało na taki wniosek.

Chodzi o cechę podobieństwa kkk.
Wysokosć BC dzieli trójkąt prostokątny BDE na dwa podobne trójkąty prostokątne o jednakowych kątach. Zauważ, że dla trójkątów prostokątnych wystarczy uzasadnić równość jednego kąta ostrego (wówczas pozostałe też muszą być równe). Wiesz dlaczego np. kąty CBD i CEB są równe?

Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.

Post autor: dawid.barracuda » 29 cze 2011, o 21:31

Już chyba wiem dlaczego trójkąt BDE jest prostokątny. Oto moje uzasadnienie:
\(\displaystyle{ 2 \alpha + 2 \beta = 180 /:2}\)
\(\displaystyle{ \alpha + \beta = 90}\)
Dobrze rozumuję?

mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4615
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.

Post autor: mat_61 » 1 lip 2011, o 05:51

Tak.

Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.

Post autor: dawid.barracuda » 1 lip 2011, o 08:40

Więc tak. W zasadzie zadanie rozwiązałem. Dzięki informacji, że trójkąty CBD i CEB są podobne na zasadzie kkk ułożyłem proporcję:

\(\displaystyle{ \frac{6}{x + 6}= \frac{3}{6} \Rightarrow x = 6}\)

\(\displaystyle{ \left| DC\right| + \left| CE\right| = \left| DE\right|}\)

\(\displaystyle{ 3 + 12 = 15}\)

Proszę jeszcze tylko o wyjaśnienie dlaczego tak się dzieje, że te trójkąty (CBD i CEB) są podobne na zasadzie kkk i dlaczego tak się dzieje i w jakich przypadkach jeszcze.

mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4615
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Dwusieczne, kąt przyległy i przedłużenie przyprostokątnej.

Post autor: mat_61 » 3 lip 2011, o 20:33

dawid.barracuda pisze:Więc tak. W zasadzie zadanie rozwiązałem. Dzięki informacji, że trójkąty CBD i CEB są podobne na zasadzie kkk ułożyłem proporcję:

\(\displaystyle{ \frac{6}{x + 6}= \frac{3}{6} \Rightarrow x = 6}\)
Co to jest x?
Odpowiadające sobie boki w tych dwóch trójkątach to:

\(\displaystyle{ CD \rightarrow CB}\) - krótsza przyprostokątna
\(\displaystyle{ CB \rightarrow CE}\) - dłuższa przyprostokątna

Teraz zapiszemy odpowiednią proporcję:

\(\displaystyle{ \frac{\left| CB\right| }{\left| CD\right| }= \frac{\left|CE \right| }{\left| CB\right| }}\)

\(\displaystyle{ \frac{6}{3} = \frac{\left|CE \right| }{6} \Rightarrow \left| CE\right| =12}\)
dawid.barracuda pisze:Proszę jeszcze tylko o wyjaśnienie dlaczego tak się dzieje, że te trójkąty (CBD i CEB) są podobne na zasadzie kkk i dlaczego tak się dzieje i w jakich przypadkach jeszcze.
Zauważ, że BC jest wysokością trójkąta prostokątnego EBD poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego.

Dla trójkąta EBD oznacz sobie kąt przy wierzchołku D jako \(\displaystyle{ \alpha}\), wówczas kąt przy wierzchołku E wynosi \(\displaystyle{ 90- \alpha}\).
Tym samym dla trójkąta CEB, kąt przy wierzchołku B to, \(\displaystyle{ 180-\left[ 90+(90- \alpha )\right] = \alpha}\).

Widzisz więc, że dla trzech trójkątów jeden z kątów ostrych jest równy \(\displaystyle{ \alpha}\):

EBD - kąt przy wierzchołku D
CBD - kąt przy wierzchołku D
CEB - kąt przy wierzchołku B

Jeżeli jeden kąt ostry dla tych trójkątów jest taki sam, to drugi kąt ostry także jest taki sam, bo wynosi \(\displaystyle{ 90- \alpha}\) a trzeci kąt to oczywiście 90 stopni (czyli wszystkie odpowiadające sobie kąty w tych trójkątach są takie same).

Na podstawie tego możemy powiedzieć, że:

Wysokość w trójkącie prostokątnym poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty podobne do niego.

ODPOWIEDZ