kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
36chambers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 30 lis 2010, o 11:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów

Post autor: 36chambers » 28 cze 2011, o 13:25

korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżnosć podanych szeregów:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \sin \frac{\pi}{ 2^{n} }}\)
Ostatnio zmieniony 29 cze 2011, o 11:34 przez Dasio11, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: To jest lepszy dział.

miodzio1988

kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów

Post autor: miodzio1988 » 28 cze 2011, o 13:27

\(\displaystyle{ sinx<x}\)

36chambers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 30 lis 2010, o 11:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów

Post autor: 36chambers » 28 cze 2011, o 13:31

miodzio1988 pisze:\(\displaystyle{ sinx<x}\)
a skąd wiadomo, że taka nierównosć jest prawdziwa? w moim podręczniku własnie było \(\displaystyle{ \sin x \ge x}\)
dla \(\displaystyle{ x\in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)}\)

z tym że to mnie do niczego nie prowadzi

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów

Post autor: Majeskas » 28 cze 2011, o 13:32

dla \(\displaystyle{ x>0}\)

36chambers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 30 lis 2010, o 11:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów

Post autor: 36chambers » 28 cze 2011, o 13:34

36chambers pisze:
miodzio1988 pisze:\(\displaystyle{ sinx<x}\)
a skąd wiadomo, że taka nierównosć jest prawdziwa? w moim podręczniku własnie było \(\displaystyle{ \sin x \ge x}\)
dla \(\displaystyle{ x\in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)}\)

z tym że to mnie do niczego nie prowadzi
a nie pomyliło mi się..

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów

Post autor: Majeskas » 28 cze 2011, o 13:39

Owszem, Miodzio napisał nierówność w dobrą stronę. Skąd wynika? Graficznie, na wykresach widać ją gołym okiem. Udowodnić można ją poprzez rachunek różniczkowy.

\(\displaystyle{ f(x)=x-sinx}\). Można łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ f'(x) \ge 0}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\). Zatem f rośnie na \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+}\). Ponadto \(\displaystyle{ f(0)=0}\), stąd nierówność \(\displaystyle{ x \ge sinx}\) jest spełniona dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\)

36chambers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 30 lis 2010, o 11:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów

Post autor: 36chambers » 28 cze 2011, o 13:41

Majeskas pisze:Owszem, Miodzio napisał nierówność w dobrą stronę. Skąd wynika? Graficznie, na wykresach widać ją gołym okiem. Udowodnić można ją poprzez rachunek różniczkowy.

\(\displaystyle{ f(x)=x-sinx}\). Można łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ f'(x) \ge 0}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\). Zatem f rośnie na \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+}\). Ponadto \(\displaystyle{ f(0)=0}\), stąd nierówność \(\displaystyle{ x \ge sinx}\) jest spełniona dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\)
dziękuję za wytłumaczenie

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów

Post autor: Majeskas » 28 cze 2011, o 13:46

Daje Ci to dużo, bo

\(\displaystyle{ \forall n \in \mathbb{N}_+ \quad 0< \frac{ \pi }{2^{n}} \le \frac{ \pi }{2}}\). Zatem wszystkie wyrazy szeregu są dodatnie (sinus jest dodatni na \(\displaystyle{ \left (0, \frac{ \pi }{2}\right)}\), czyli można korzystać z kryterium porównawczego, a dzięki dodatniości argumentu sinusa, można skorzystać z przytoczonej nierówności i jest z czym porównywać.

36chambers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 30 lis 2010, o 11:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów

Post autor: 36chambers » 28 cze 2011, o 13:53

Majeskas pisze:Daje Ci to dużo, bo

\(\displaystyle{ \forall n \in \mathbb{N}_+ \quad 0< \frac{ \pi }{2^{n}} \le \frac{ \pi }{2}}\). Zatem wszystkie wyrazy szeregu są dodatnie (sinus jest dodatni na \(\displaystyle{ \left (0, \frac{ \pi }{2}\right)}\), czyli można korzystać z kryterium porównawczego, a dzięki dodatniości argumentu sinusa, można skorzystać z przytoczonej nierówności i jest z czym porównywać.
wiem, już rozwiązałem

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9335
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2043 razy

kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów

Post autor: Dasio11 » 28 cze 2011, o 17:36

Majeskas pisze:Owszem, Miodzio napisał nierówność w dobrą stronę. Skąd wynika? Graficznie, na wykresach widać ją gołym okiem. Udowodnić można ją poprzez rachunek różniczkowy.

\(\displaystyle{ f(x)=x- \sin x}\). Można łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ f'(x) \ge 0}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\). Zatem f rośnie na \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+}\). Ponadto \(\displaystyle{ f(0)=0}\), stąd nierówność \(\displaystyle{ x \ge \sin x}\) jest spełniona dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\)
Żeby pokazać, że \(\displaystyle{ f'(x) \ge 0,}\) potrzebujesz znać wzór na pochodną sinusa. Żeby go wyprowadzić, potrzebujesz nierówności \(\displaystyle{ \sin x<x.}\) Dlatego nie tak się tego dowodzi, bo byłoby to zwykłe korzystanie z tezy.

Klasyczny dowód wygląda tak:
dowód:    

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów

Post autor: Majeskas » 28 cze 2011, o 17:56

Nie zgodzę się z tym, że aby policzyć pochodną sinusa, należy znać nierówność \(\displaystyle{ sinx<x}\). Dowód tej nierówności przez rachunek różniczkowy jest tak samo dobry, jak ten geometryczny. Nie ma tu żadnego skorzystania z tezy. To zupełnie inny przypadek niż np. dowodzenie z reguły de l'Hospitala, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x}=1.}\)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9335
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2043 razy

kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów

Post autor: Dasio11 » 28 cze 2011, o 18:54

A mógłbyś wyprowadzić wzór na pochodną sinusa bez korzystania z tej nierówności? :-)

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów

Post autor: Majeskas » 28 cze 2011, o 19:34

Mógłbym.

\(\displaystyle{ z \in \mathbb{C}}\)

\(\displaystyle{ sinz= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\)

\(\displaystyle{ \left(sinz \right)' = \left(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \right)'=\frac{ie^{iz}+ie^{-iz}}{2i}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=cosz}\)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9335
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2043 razy

kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów

Post autor: Dasio11 » 29 cze 2011, o 10:46

Rozumiem, że definiujesz sinusa i cosinusa za pomocą szeregu potęgowego liczb zespolonych. Dla tak zdefiniowanych funkcji, udowodniłeś, że jedna jest pochodną drugiej. OK.
Teraz wystarczy pewnie pokazać, że dla liczb rzeczywistych, pokrywają się te definicje funkcji trygonometrycznych. Jak zamierzasz to udowodnić? ;->

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

kryterium porównawcze, zbieżnosć szeregów

Post autor: Majeskas » 29 cze 2011, o 11:50

Nijak. Definiowanie funkcji trygonometrycznych za pomocą funkcji wykładniczej, czyli tzw. wzorami Eulera jest dobre dla każdej liczby zespolonej (i nie muszę tu nic udowadniać, jest to po prostu jedna z uznanych definicji funkcji trygonometrycznych), więc w szczególności dla rzeczywistej. Pokazałem tak naprawdę więcej niż chciałeś. Cosinus jest pochodną sinusa na całej dziedzinie zespolonej, czyli w szczególności na podzbiorze tej dziedziny - zbiorze liczb rzeczywistych. Myślę, że na tym etapie można już zakończyć to czepialstwo i uznać, że nie jest niczym zdrożnym dowodzenie tej nieszczęsnej nierówności poprzez rachunek różniczkowy.

ODPOWIEDZ