postać zwarta ciągu + f. tworzące

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
anders90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 18 lut 2011, o 12:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy

postać zwarta ciągu + f. tworzące

Post autor: anders90 » 28 cze 2011, o 12:33

Witam,

prosiłbym o pomoc lub ewentualne wskazówki do rozwiązania zadania:

Wyznacz postać zwartą ciągu wykorzystując aparat funkcji tworzących:

\(\displaystyle{ a_{n}= 3a_{n-1}+2^{n-2}-1, n \ge 2, a_{0}=0, a_{1}=0}\)

z góry dziękuje!

Pozdrawiam.

octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

postać zwarta ciągu + f. tworzące

Post autor: octahedron » 28 cze 2011, o 22:32

\(\displaystyle{ A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+\sum_{n=2}^{\infty}a_nx^n=\sum_{n=2}^{\infty}a_nx^n=\sum_{n=2}^{\infty}\left( 3a_{n-1}+2^{n-2}-1\right) x^n=\sum_{n=2}^{\infty}3a_{n-1}x^n+\sum_{n=2}^{\infty}2^{n-2}x^n-\sum_{n=2}^{\infty}x^n=3x\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}x^{n-1}+\frac{1}{4}\sum_{n=2}^{\infty}2^{n}x^n-\sum_{n=2}^{\infty}x^n=3xA(x)+\frac{1}{4} \cdot \frac{\left( 2x\right)^2 }{1-2x}-\frac{x^2}{1-x}=3xA(x)+\frac{x^2}{1-2x}-\frac{x^2}{1-x} \Rightarrow \\ A(x)\left( 1-3x\right)=\frac{x^2}{1-2x}-\frac{x^2}{1-x}\\
A(x)=\frac{x^2}{\left(1-3x \right) \left( 1-2x\right) }-\frac{x^2}{\left( 1-3x\right)\left( 1-x\right) }=\\=\frac{1}{6\left(1-3x\right)}-\frac{1}{2\left( 1-2x\right) }+\frac{1}{2\left(1-x\right) }-\frac{1}{6}=\\=\frac{1}{6}\sum_{n=0}^{\infty}3^nx^n-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}2^nx^n+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}x^n-\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n,\ b_n= \begin{cases} \frac{1}{6},\ n=0 \\0,\ n>0 \end{cases} \Rightarrow \\
a_n=\frac{1}{6} \cdot 3^n-\frac{1}{2} \cdot 2^n+\frac{1}{2}-b_n=\frac{1}{2} \left( 3^{n-1}+1\right) -2^{n-1}-b_n\\}\)

Lukassz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 10 lut 2010, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowe
Podziękował: 17 razy

postać zwarta ciągu + f. tworzące

Post autor: Lukassz » 14 sie 2014, o 18:16

Mam pytanie do drugiej linijki potęga przy \(\displaystyle{ x}\) bierze się od \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) tak?

edit: jeśli to możliwe prosiłbym o wyjaśnieni trzeciej linijki

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7283
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 944 razy

postać zwarta ciągu + f. tworzące

Post autor: Kartezjusz » 15 sie 2014, o 13:12

Widzę błąd W trzeciej linii \(\displaystyle{ \frac{1}{4}4^{n} \neq 1}\)dla

Lukassz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 10 lut 2010, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowe
Podziękował: 17 razy

postać zwarta ciągu + f. tworzące

Post autor: Lukassz » 15 sie 2014, o 13:20

A skąd wzięły się ułamki w trzeciej linii za \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)?

octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

postać zwarta ciągu + f. tworzące

Post autor: octahedron » 22 sie 2014, o 22:12

Lukassz pisze:Mam pytanie do drugiej linijki potęga przy \(\displaystyle{ x}\) bierze się od \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) tak?
Tak, chcemy mieć \(\displaystyle{ a_{n-1}x^{n-1}}\)
Lukassz pisze:jeśli to możliwe prosiłbym o wyjaśnieni trzeciej linijki
Te ułamki po \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) biorą się ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego.
Kartezjusz pisze:Widzę błąd W trzeciej linii \(\displaystyle{ \frac{1}{4}4^{n} \neq 1}\)dla
Możesz trochę uściślić ?

Lukassz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 10 lut 2010, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowe
Podziękował: 17 razy

postać zwarta ciągu + f. tworzące

Post autor: Lukassz » 7 wrz 2014, o 16:13

Ok, a jak ten wzór na sumę szeregu jest wykorzystywany i po co dokładnie?

octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

postać zwarta ciągu + f. tworzące

Post autor: octahedron » 7 wrz 2014, o 19:40

Wzór jest taki:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}}\)
Umożliwia zwinięcie lub rozwinięcie sumy w jedno wyrażenie.

ODPOWIEDZ