Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \left( 3^{-x+1}+1 \right) =1}\)

Robię to z def. Heinego, a mianowicie biorę takie:

\(\displaystyle{ x_n}\), że \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}x_n=\infty \Rightarrow x_n=n}\), wtedy mamy:

\(\displaystyle{ \lim_{x_n \to \infty} \left( 3^{-x_n+1}+1 \right) =1 \Rightarrow \lim_{x_n \to \infty} \left( \left( \frac{1}{3} \right) ^{x_n} \cdot 3+1 \right) =1}\)

Czy to jest prawidłowe rozwiązanie?

Raczej nie, bo nawet nie wiesz, czy ta granica istnieje. Ja bym to robił "metodą strzałkową". Widać, że przy \(\displaystyle{ x \rightarrow + \infty}\) \(\displaystyle{ -x+1 \rightarrow - \infty}\), dalej \(\displaystyle{ 3^{-x+1} \rightarrow 0}\), więc wszystko dąży do jedynki.

Ale być może chodzi tutaj o użycie definicji granicy. Wtedy trzeba z definicji Cauchy'ego raczej.

Wydaję mi się, że to jest ok, a mianowicie:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}f(x)=g \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty}x_{n}=\infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty}f(x_{n})=g}\)

Z definicji Heinego musiałbyś pokazać, że dowolnego ciągu \(\displaystyle{ x_n}\) rozbieżnego do nieskończoności, zachodzi \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 3^{-x_n+1}+1 \right) =1}\), ty wziąłeś tylko jeden przypadkowy ciąg. To jeszcze nic nie znaczy. Co do wykazania, to zależy, z czego możesz korzystać. Jeśli miałeś np twierdzenie typu:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}x_n=\infty,0<a<1, \Rightarrow \lim_{n\to \infty}a^{x_n}=0}\).
To spokojnie możesz się tym jakoś podeprzeć, dalej to tw, na sumę (różnicę) granic.
Jeśli nie no to definicja Cauchy'ego.