Objętość bryły ograniczonej powierzchniami.

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
gobi12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 18 mar 2008, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wysokie Mazowieckie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 6 razy

Objętość bryły ograniczonej powierzchniami.

Post autor: gobi12 » 27 cze 2011, o 22:38

Za pomocą całki potrójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
\(\displaystyle{ z=- \sqrt{4- x^{2} -y^{2} } \\
z=2- \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)



Widzę, że pierwsza powierzchnia to dolna połowa sfery zaś druga to stożek, dalej nie za bardzo wiem co z tym zrobić. Współrzędne sferyczne?
Ostatnio zmieniony 27 cze 2011, o 22:42 przez gobi12, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18758
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3726 razy

Objętość bryły ograniczonej powierzchniami.

Post autor: szw1710 » 27 cze 2011, o 22:42

Wskazówka: obie powierzchnie są obrotowe. Narysuj przekrój bryły płaszczyzną powiedzmy \(\displaystyle{ xz}\), a łatwo wyznaczysz granice całkowania.

gobi12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 18 mar 2008, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wysokie Mazowieckie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 6 razy

Objętość bryły ograniczonej powierzchniami.

Post autor: gobi12 » 27 cze 2011, o 22:53

Czyli dać współrzędne biegunowe?
\(\displaystyle{ z=- \sqrt{4- r^{2} } \\
z=2-r}\)


Tylko nie za bardzo wiem jak mi to może pomóc. Czy to będzie wtedy:
\(\displaystyle{ 0 \le r \le 2 \\
\pi \le \phi \le 2\pi \\
-2 \le z \le 0}\)
Ostatnio zmieniony 27 cze 2011, o 23:02 przez gobi12, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18758
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3726 razy

Objętość bryły ograniczonej powierzchniami.

Post autor: szw1710 » 27 cze 2011, o 22:59

\(\displaystyle{ z=2-|r|}\). Przecież \(\displaystyle{ \sqrt{a^2}=|a|}\)!!!

Narysuj te linie w układzie \(\displaystyle{ rz}\), wyznacz punkty przecięcia, zrzutuj na oś \(\displaystyle{ r}\). Rzutem całej bryły na płaszczyznę \(\displaystyle{ xy}\) będzie koło o odpowiednim promieniu. Więc nak najbardziej współrzędne biegunowe.

gobi12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 18 mar 2008, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wysokie Mazowieckie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 6 razy

Objętość bryły ograniczonej powierzchniami.

Post autor: gobi12 » 27 cze 2011, o 23:16

Więc mam coś takiego układ rz:
http://imageshack.us/photo/my-images/585/63797762.png/
Tylko jak wyznaczyć granice całkowania.
\(\displaystyle{ 0 \le r \le 2 \\
0 \le \phi \le 2\pi \\
- \sqrt{4- r^{2} } \le z \le 2-\left| r\right|}\)

Tak jest dobrze?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18758
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3726 razy

Objętość bryły ograniczonej powierzchniami.

Post autor: szw1710 » 27 cze 2011, o 23:23

Rysunek OK. Obracasz to dookola osi z. Więc granice całkowania są ewidentne.

ODPOWIEDZ