Jak obliczyć środek sfery?

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Awatar użytkownika
loleklulek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 27 cze 2011, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: trudne czasy

Jak obliczyć środek sfery?

Post autor: loleklulek » 27 cze 2011, o 19:16

Proszę o pomoc wspaniałych matematyków.

zad.1.

Jak obliczyć współrzędne XYZ środka sfery? Podane współrzędne XYZ trzech punktów leżących na tej sferze. Trzy punkty należące do sfery leżą na jednej płaszczyźnie razem ze środkiem sfery.

zad.2.

Podany jest promień i 3 punkty. Obliczyć współrzędne środków dwóch sfer opartych na 3 punktach.

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Jak obliczyć środek sfery?

Post autor: Majeskas » 27 cze 2011, o 20:28

zad.1.

Jesteśmy standardowo w \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{3}}\)? Jeśli tak, to środek sfery leży na prostej, złożonej z punktów równo odległych od trzech zadanych punktów. Ponadto dane punkty wyznaczają płaszczyznę. Środek sfery jest wyznaczony przez przecięcie prostej i płaszczyzny.

zad 2.

Wystarczy zapisać trzy równania odległości między środkiem sfery, a zadanymi punktami. Ponieważ znamy promień, otrzymamy w ten sposób 3 równania z 3 niewiadomymi. Będzie to układ równań kwadratowych, więc powinny wyjść 2 rozwiązania - szukane środki sfer.

Awatar użytkownika
loleklulek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 27 cze 2011, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: trudne czasy

Jak obliczyć środek sfery?

Post autor: loleklulek » 27 cze 2011, o 22:36

Dobra podpowiedź. Przypomniałeś właściwości pewne ale dalej nie wiem co robić.



\(\displaystyle{ \begin{cases}(x_1-x_s)^2+(y_1-y_s)^2+(z_1-z_s)^2=r^2\\(x_2-x_s)^2+(y_2-y_s)^2+(z_2-z_s)^2=r^2\\(x_3-x_s)^2+(y_3-y_s)^2+(z_3-z_s)^2=r^2\end{cases}}\)
nie wiem co zrobić z takim układem
dałem go na http://www.matematyka.pl/258115.htm
Ostatnio zmieniony 27 cze 2011, o 22:43 przez loleklulek, łącznie zmieniany 1 raz.

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Jak obliczyć środek sfery?

Post autor: Majeskas » 27 cze 2011, o 22:43

Podaj jakiś przykład, to Ci pokażę.

Awatar użytkownika
loleklulek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 27 cze 2011, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: trudne czasy

Jak obliczyć środek sfery?

Post autor: loleklulek » 27 cze 2011, o 22:46

Muszę mieć wyprowadzony wzór na x, y, i z środka. Punkty są losowo rozrzucone na kole/średnicy sfery.

np.:
\(\displaystyle{ P_1(-2,3,4) \\
P_2(3,-6,8) \\
P_3(9,-4,-5)}\)

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Jak obliczyć środek sfery?

Post autor: Majeskas » 28 cze 2011, o 00:30

\(\displaystyle{ A=(x_a,y_a,z_a)}\)

\(\displaystyle{ B=(x_b,y_b,z_b)}\)

\(\displaystyle{ C=(x_c,y_c,z_c)}\)

\(\displaystyle{ S=(x_0,y_0,z_0)}\)

zad 1

Zbiór punktów równo odległych od \(\displaystyle{ A, B,C}\) tworzy prostą. Opisujący ją układ równań, wynikający z zapisania równań odległości wygląda następująco:

\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-x_a)^{2}+(y-y_a)^{2}+(z-z_a)^{2}=R^{2} \\ (x-x_b)^{2}+(y-y_b)^{2}+(z-z_b)^{2}=R^{2} \\ (x-x_c)^{2}+(y-y_c)^{2}+(z-z_c)^{2}=R^{2} \end{cases}}\)

Uproszczę go do postaci:

\(\displaystyle{ \begin{cases} Ax+By+Cz+D=0 \\ Ex+Fy+Gz+H=0 \end{cases}}\)

Biorę pierwsze dwa równania:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}-2x_ax+x_a^{2}+y^{2}-2y_ay+y_a^{2}+z^{2}-2z_az+z_a^{2}=R^{2} \\ x^{2}-2x_bx+x_b^{2}+y^{2}-2y_by+y_b^{2}+z^{2}-2z_bz+z_b^{2}=R^{2} \end{cases}}\)

Odejmuję drugie równanie od pierwszego, otrzymuję:

\(\displaystyle{ 2(x_b-x_a)x+2(y_b-y_a)y+2(z_b-z_a)z+x_a^{2}-x_b^{2}+y_a^{2}-y_b^{2}+z_a^{2}-z_b^{2}=0}\)

Wykonuję ten sam manewr odejmując od pierwszego równania trzecie (równie dobrze mógłbym odjąć od trzeciego drugie, nie ma to znaczenia). Otrzymuję w ten sposób układ równań opisujący prostą:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2(x_b-x_a)x+2(y_b-y_a)y+2(z_b-z_a)z+x_a^{2}-x_b^{2}+y_a^{2}-y_b^{2}+z_a^{2}-z_b^{2}=0 \\ 2(x_c-x_a)x+2(y_c-y_a)y+2(z_c-z_a)z+x_a^{2}-x_c^{2}+y_a^{2}-y_c^{2}+z_a^{2}-z_c^{2}=0 \end{cases}}\)

Teraz znajdę równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A, B,C}\)

Nie chcę mi się tego wyprowadzać. Mam nadzieję, że jasne jest jak to można zrobić. Jeśli nie, mogę potem napisać.

Równanie to wygląda następująco:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}x-x_a&y-y_a&z-z_a\\x_b-x_a&y_b-y_a&z_b-z_a\\x_c-x_a&y_c-y_a&z_c-z_a\end{array}\right|=0}\)

Środek sfery \(\displaystyle{ S}\) jest punktem przecięcia prostej i płaszczyzny (geometrycznie jest to chyba dosyć jasne). Zatem, aby znaleźć \(\displaystyle{ S=(x_0,y_0,z_0)}\). Należy rozwiązać układ:


\(\displaystyle{ \begin{cases} 2(x_b-x_a)x+2(y_b-y_a)y+2(z_b-z_a)z+x_a^{2}-x_b^{2}+y_a^{2}-y_b^{2}+z_a^{2}-z_b^{2}=0 \\ 2(x_c-x_a)x+2(y_c-y_a)y+2(z_c-z_a)z+x_a^{2}-x_c^{2}+y_a^{2}-y_c^{2}+z_a^{2}-z_c^{2}=0 \\ \left|\begin{array}{ccc}x-x_a&y-y_a&z-z_a\\x_b-x_a&y_b-y_a&z_b-z_a\\x_c-x_a&y_c-y_a&z_c-z_a\end{array}\right|=0 \end{cases}}\)

Awatar użytkownika
loleklulek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 27 cze 2011, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: trudne czasy

Jak obliczyć środek sfery?

Post autor: loleklulek » 28 cze 2011, o 00:56

x y z (bez dolnego indexu) w macierzy jest szukanym środkiem czy miejscami zerowymi?

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Jak obliczyć środek sfery?

Post autor: Majeskas » 28 cze 2011, o 01:04

zad. 2

Szukamy \(\displaystyle{ S_1=(x_1,y_1,z_1)}\)

Gdy już mamy wzór prostej, złożonej z punktów równo odległych od \(\displaystyle{ A,B,C}\) i chcemy znaleźć punkt, który będzie środkiem sfery o zadanym promieniu \(\displaystyle{ R}\). Wystarczy dodać którykolwiek z warunków:

\(\displaystyle{ |AS_1|=R}\) lub \(\displaystyle{ |BS_1|=R}\) lub \(\displaystyle{ |CS_1|=R}\)

I zapisać układ równań. Weźmy dla przykładu:

\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-x_a)^{2}+(y-y_a)^{2}+(z-z_a)^{2}=R^{2} \\ 2(x_b-x_a)x+2(y_b-y_a)y+2(z_b-z_a)z+x_a^{2}-x_b^{2}+y_a^{2}-y_b^{2}+z_a^{2}-z_b^{2}=0 \\ 2(x_c-x_a)x+2(y_c-y_a)y+2(z_c-z_a)z+x_a^{2}-x_c^{2}+y_a^{2}-y_c^{2}+z_a^{2}-z_c^{2}=0 \end{cases}}\)

Ponieważ jedno równanie układu jest kwadratowe, a pozostałe liniowe, układ ten można sprowadzić do równania kwadratowego z jedną niewiadomą, które dla każdego \(\displaystyle{ R>0}\) będzie miało 2 rozwiązania. Zatem rozwiązaniem układu będą punkty: \(\displaystyle{ S_1'=(x_1',y_1',z_1')}\), \(\displaystyle{ S_1''=(x_1'',y_1'',z_1'')}\), spełniające warunki zadania.

-- 28 czerwca 2011, 01:12 --
loleklulek pisze:x y z (bez dolnego indexu) w macierzy jest szukanym środkiem czy miejscami zerowymi?
Nie rozumiem pytania. To właściwie nie jest macierz, tylko wyznacznik macierzy. Ten wyznacznik macierzy przyrównany do 0 to po prostu sposób zapisu równania opisującego płaszczyznę. W tym równaniu znane nam są wszystkie współrzędne indeksowane, ponieważ są to współrzędne punktów, które sobie wzięliśmy. Natomiast to, co w wyznaczniku macierzy jest nieindeksowane, to są zmienne tego równania. Oblicz ten wyznacznik, to zobaczysz. Ponadto nie trzeba tego tak robić. Ja bym inaczej szukał równania płaszczyzny, mając konkretne liczby. Tutaj zapisałem tak dlatego, że wyprowadzałem ogólne wzory i niewygodne byłoby obliczanie iloczynu wektorowego wektorów zapisanych za pomocą literek.

W każdym razie ten przyrównany do 0 wyznacznik to jest nic innego, jak równanie płaszczyzny przechodzącej przez dowolne, ustalone punkty \(\displaystyle{ A,B,C}\). Nie ma to nic wspólnego z jakimiś miejscami zerowymi, czy też ze środkiem sfery, o którą tu chodzi. Jeszcze raz napiszę: środek sfery (właściwie kuli) to punkt przecięcia płaszczyzny przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A,B,C}\) i prostej zawierającej punkty równo odległe od \(\displaystyle{ A,B,C}\). Stąd, żeby znaleźć współrzędne tego środka, należy rozwiązać układ równań, który na końcu zapisałem.

ODPOWIEDZ