Matematyka.pl

\(\displaystyle{ ax^{2}+bx+c=0}\)
\(\displaystyle{ bx^{2}+cx+a=0}\)
\(\displaystyle{ cx^{2}+ax+b=0}\) maja wspolny pierwiastek rzeczywisty wtedy i tylko wtedy gdy\(\displaystyle{ a+b+c=0}\)

Dodaje współczynniki na początku...
\(\displaystyle{ (a+b+c)x^{2}+(a+b+c)x+a+b+c=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=(a+b+c)^{2}-4(a+b+c)^{2}}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0\longleftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ac+bc-4(a^{2}+b^{2}+c{2}+ab+ac+bc)=0}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ac+bc-4a^{2}-4b^{2}-4c^{2}-4ab-4ac-4bc=0}\)
\(\displaystyle{ -3a^{2}-3b^{2}-3c^{2}-3ab-3ac-3bc=0}\)
\(\displaystyle{ -3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ac+bc)=0}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ac+bc=0}\)
\(\displaystyle{ a(a+b+c)+b(b+c)+c^{2}=0}\)

Wiemy,ze\(\displaystyle{ a\neq b\neq c\neq 0}\)
Wiec powyzsze wyrazenie jest rowne 0 gdy \(\displaystyle{ a+b+c=0}\) lub \(\displaystyle{ b+c=0}\)
Zatem istnieje jeden pierwiastek..

Wiec udowodnione!