równanie trygonometryczne z funkcją kwadratową

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Paku93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 24 cze 2011, o 20:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Świetokrzyskie

równanie trygonometryczne z funkcją kwadratową

Post autor: Paku93 » 27 cze 2011, o 15:52

Liczby \(\displaystyle{ x_{1} \neq x_{2}}\) są dwoma dodatnimi pierwiastkami równania
\(\displaystyle{ 3x^{2} - x \cdot \pi + m = 0}\) z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\), gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest pewną ustaloną liczbą rzeczywistą.

a) Wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{2x_{1}\cdot x_{2}}{ x_{1} + x_{2}}<\frac{\pi}{6}}\)
b) Wykaż, że \(\displaystyle{ 2 \tg x _{1}\cdot \tg x _{2} + \frac{1}{ \cos x _{1} \cos x_{2}}=2}\)

z podpunktem a) sobie poradziłem bo wychodzi to z delty która musi być większa od zera aby były \(\displaystyle{ 2}\) pierwiastki równania, za to nie mam pojęcia jak zrobić podpunkt b)
Ostatnio zmieniony 27 cze 2011, o 16:02 przez ares41, łącznie zmieniany 5 razy.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu. Proszę zapoznać się z pkt. 2.7 instrukcji LaTeX-u.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23175
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3159 razy

równanie trygonometryczne z funkcją kwadratową

Post autor: piasek101 » 27 cze 2011, o 15:59

Paku93 pisze: \(\displaystyle{ 3x^{2} − \pix + m = 0}\)
Popraw zapis bo tego równania dobrze nie widać.

Awatar użytkownika
piti-n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 534
Rejestracja: 24 gru 2010, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroclaw
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 45 razy

równanie trygonometryczne z funkcją kwadratową

Post autor: piti-n » 27 cze 2011, o 16:07

a) Skorzystaj ze wzorów vieta

fenix86
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 27 cze 2011, o 10:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

równanie trygonometryczne z funkcją kwadratową

Post autor: fenix86 » 27 cze 2011, o 16:25

b) Przekształcając lewą stronę równości otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2\tg x_1 \tg x_2 + \frac{1}{\cos x_1 \cos x_2} = \frac{2 \sin x_1 \sin x_2 + 1}{\cos x_1 \cos x_2} = (*)}\)
Korzystając ze wzoru:
[quote]\(\displaystyle{ \cos(x_1+x_2) = \cos x_1 \cos x_2 - \sin x_1 \sin x_2}\)[/quote]
otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ (*) = \frac{2 \cos x_1 \cos x_2 - 2 \cos (x_1 + x_2) + 1 }{\cos x_1 \cos x_2} = 2 + \frac{1 - 2 \cos (x_1 + x_2)}{\cos x_1 \cos x_2} = (**)}\)
Wykorzystując wzory Viete'a mamy:
\(\displaystyle{ (**) = 2 + \frac{1 - 2 \cos(\frac{\pi}{3})}{\cos x_1 \cos x_2} = 2.}\)

Awatar użytkownika
piti-n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 534
Rejestracja: 24 gru 2010, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroclaw
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 45 razy

równanie trygonometryczne z funkcją kwadratową

Post autor: piti-n » 27 cze 2011, o 16:30

aaa... I wykorzystaj do pierwszego warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków. Wyznaczysz w ten sposób maksymalną wartość m. Warunek to oczwiście \(\displaystyle{ \Delta>0}\)

Paku93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 24 cze 2011, o 20:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Świetokrzyskie

równanie trygonometryczne z funkcją kwadratową

Post autor: Paku93 » 27 cze 2011, o 17:02

dzieki wielkie, juz rozumiem wszystko, a jakby ktos mial link do jakiejs strony gdzie sa te wszystkie wzory z f. trygonometrycznymi to bylbym wdzieczny jakby podeslal

fenix86
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 27 cze 2011, o 10:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

równanie trygonometryczne z funkcją kwadratową

Post autor: fenix86 » 27 cze 2011, o 17:14


ODPOWIEDZ