równanie trygonometryczne z funkcją kwadratową

[Paku93]

Liczby \(\displaystyle{ x_{1} \neq x_{2}}\) są dwoma dodatnimi pierwiastkami równania
\(\displaystyle{ 3x^{2} - x \cdot \pi + m = 0}\) z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\), gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest pewną ustaloną liczbą rzeczywistą.

a) Wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{2x_{1}\cdot x_{2}}{ x_{1} + x_{2}}<\frac{\pi}{6}}\)
b) Wykaż, że \(\displaystyle{ 2 \tg x _{1}\cdot \tg x _{2} + \frac{1}{ \cos x _{1} \cos x_{2}}=2}\)

z podpunktem a) sobie poradziłem bo wychodzi to z delty która musi być większa od zera aby były \(\displaystyle{ 2}\) pierwiastki równania, za to nie mam pojęcia jak zrobić podpunkt b)

[piasek101]

\(\displaystyle{ 3x^{2} − \pix + m = 0}\)

Popraw zapis bo tego równania dobrze nie widać.

[piti-n]

a) Skorzystaj ze wzorów vieta

[fenix86]

b) Przekształcając lewą stronę równości otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2\tg x_1 \tg x_2 + \frac{1}{\cos x_1 \cos x_2} = \frac{2 \sin x_1 \sin x_2 + 1}{\cos x_1 \cos x_2} = (*)}\)
Korzystając ze wzoru:

\(\displaystyle{ \cos(x_1+x_2) = \cos x_1 \cos x_2 - \sin x_1 \sin x_2}\)

otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ (*) = \frac{2 \cos x_1 \cos x_2 - 2 \cos (x_1 + x_2) + 1 }{\cos x_1 \cos x_2} = 2 + \frac{1 - 2 \cos (x_1 + x_2)}{\cos x_1 \cos x_2} = (**)}\)
Wykorzystując wzory Viete'a mamy:
\(\displaystyle{ (**) = 2 + \frac{1 - 2 \cos(\frac{\pi}{3})}{\cos x_1 \cos x_2} = 2.}\)

[piti-n]

aaa... I wykorzystaj do pierwszego warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków. Wyznaczysz w ten sposób maksymalną wartość m. Warunek to oczwiście \(\displaystyle{ \Delta>0}\)

[Paku93]

dzieki wielkie, juz rozumiem wszystko, a jakby ktos mial link do jakiejs strony gdzie sa te wszystkie wzory z f. trygonometrycznymi to bylbym wdzieczny jakby podeslal

[fenix86]

Chociażby tu: https://www.matematyka.pl/page.php?p=kom ... ometryczne