Potegi dwójki (x 3)

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6095
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2531 razy
Pomógł: 671 razy

Potegi dwójki (x 3)

Post autor: mol_ksiazkowy » 27 cze 2011, o 15:17

1) Czy istnieje liczba naturalna N, będąca potęga dwójki i taka, że po pewnym przestawieniu miejscami jej cyfr uzyska się inną potęgę dwojki ?
2) Czy istnieje taka (jesli tak to znajdz) liczba naturalna N taka, będąca potęga dwójki i taka, że po "obcieciu" pierwszej jej cyfry uzyska się inną potęgę dwojki ?
3) Czy istnieje taka (jesli tak to znajdz) liczba naturalna N taka, będąca potęga dwójki i taka, że po "obcieciu" ostatniej jej cyfry uzyska się inną potęgę dwojki ?

tito1977
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 23 maja 2011, o 10:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 7 razy

Potegi dwójki (x 3)

Post autor: tito1977 » 27 cze 2011, o 15:22

ad 2) istnieje np 64

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Potegi dwójki (x 3)

Post autor: Rogal » 27 cze 2011, o 15:31

ad 3) istnieje np 16.

Xitami

Potegi dwójki (x 3)

Post autor: Xitami » 27 cze 2011, o 16:10

ad 1. jeżeli istnieje to musi być większa niż \(\displaystyle{ 2^{10000}}\)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6095
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2531 razy
Pomógł: 671 razy

Potegi dwójki (x 3)

Post autor: mol_ksiazkowy » 29 cze 2011, o 11:10

ad 1) nie istnieje (potrzebny dowod)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Potegi dwójki (x 3)

Post autor: Sylwek » 29 cze 2011, o 11:21

ad 1) Oczywiście zakładamy, że rozpatrujemy tylko takie permutacje, które zmieniają wartość liczby (gdy zamienimy w \(\displaystyle{ 2^{16} = 65536}\) cyfry drugą i trzecią od lewej, to nic się nie zmieni).

Permutacja cyfr nie zmienia reszty z dzielenia przez 9 (łatwe ćwiczenie). Więc gdyby pewna permutacja cyfr \(\displaystyle{ 2^n}\) dawała \(\displaystyle{ 2^m}\), to \(\displaystyle{ 2^n \equiv 2^m \ (mod \ 9)}\), co, łatwo sprawdzić, jest równoważne: \(\displaystyle{ m-n \equiv 0 \ (mod \ 6)}\). Ale \(\displaystyle{ m \neq n}\), czyli \(\displaystyle{ 2^m \ge 2^{n+6}}\) lub \(\displaystyle{ 2^m \le 2^{n-6}}\). W obu przypadkach otrzymujemy sprzeczność z tym, że ilość cyfr w \(\displaystyle{ 2^n}\) i \(\displaystyle{ 2^m}\) jest taka sama (to znaczy: \(\displaystyle{ \frac{1}{10} \cdot 2^m < 2^n < 10 \cdot 2^m}\)).

ODPOWIEDZ