1) Czy istnieje liczba naturalna N, będąca potęga dwójki i taka, że po pewnym przestawieniu miejscami jej cyfr uzyska się inną potęgę dwojki ?
2) Czy istnieje taka (jesli tak to znajdz) liczba naturalna N taka, będąca potęga dwójki i taka, że po "obcieciu" pierwszej jej cyfry uzyska się inną potęgę dwojki ?
3) Czy istnieje taka (jesli tak to znajdz) liczba naturalna N taka, będąca potęga dwójki i taka, że po "obcieciu" ostatniej jej cyfry uzyska się inną potęgę dwojki ?
Potegi dwójki (x 3)
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11264
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3141 razy
- Pomógł: 747 razy
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11264
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3141 razy
- Pomógł: 747 razy
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Potegi dwójki (x 3)
ad 1) Oczywiście zakładamy, że rozpatrujemy tylko takie permutacje, które zmieniają wartość liczby (gdy zamienimy w \(\displaystyle{ 2^{16} = 65536}\) cyfry drugą i trzecią od lewej, to nic się nie zmieni).
Permutacja cyfr nie zmienia reszty z dzielenia przez 9 (łatwe ćwiczenie). Więc gdyby pewna permutacja cyfr \(\displaystyle{ 2^n}\) dawała \(\displaystyle{ 2^m}\), to \(\displaystyle{ 2^n \equiv 2^m \ (mod \ 9)}\), co, łatwo sprawdzić, jest równoważne: \(\displaystyle{ m-n \equiv 0 \ (mod \ 6)}\). Ale \(\displaystyle{ m \neq n}\), czyli \(\displaystyle{ 2^m \ge 2^{n+6}}\) lub \(\displaystyle{ 2^m \le 2^{n-6}}\). W obu przypadkach otrzymujemy sprzeczność z tym, że ilość cyfr w \(\displaystyle{ 2^n}\) i \(\displaystyle{ 2^m}\) jest taka sama (to znaczy: \(\displaystyle{ \frac{1}{10} \cdot 2^m < 2^n < 10 \cdot 2^m}\)).
Permutacja cyfr nie zmienia reszty z dzielenia przez 9 (łatwe ćwiczenie). Więc gdyby pewna permutacja cyfr \(\displaystyle{ 2^n}\) dawała \(\displaystyle{ 2^m}\), to \(\displaystyle{ 2^n \equiv 2^m \ (mod \ 9)}\), co, łatwo sprawdzić, jest równoważne: \(\displaystyle{ m-n \equiv 0 \ (mod \ 6)}\). Ale \(\displaystyle{ m \neq n}\), czyli \(\displaystyle{ 2^m \ge 2^{n+6}}\) lub \(\displaystyle{ 2^m \le 2^{n-6}}\). W obu przypadkach otrzymujemy sprzeczność z tym, że ilość cyfr w \(\displaystyle{ 2^n}\) i \(\displaystyle{ 2^m}\) jest taka sama (to znaczy: \(\displaystyle{ \frac{1}{10} \cdot 2^m < 2^n < 10 \cdot 2^m}\)).