Układ równań w zależności od parametru a

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Oldevil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 27 cze 2011, o 13:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

Układ równań w zależności od parametru a

Post autor: Oldevil » 27 cze 2011, o 13:37

Witam. Mam problem z rozwiązaniem następującego układu równań w zależności od parametru a:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-y-z=0\\3x+ay=0\\4x-4y-az=0 \end{array}}\)

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Układ równań w zależności od parametru a

Post autor: ares41 » 27 cze 2011, o 13:44

Metodą wyznaczników będzie najwygodniej.

fenix86
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 27 cze 2011, o 10:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Układ równań w zależności od parametru a

Post autor: fenix86 » 27 cze 2011, o 13:59

Po pierwsze należy zauważyć, że wektor \(\displaystyle{ [x,y,z]=[0,0,0]}\) jest rozwiązaniem tego układu (zatem równanie, niezależnie od parametru \(\displaystyle{ a}\), nie jest sprzeczne). Wyznacznik macierzy głównej układu jest równy \(\displaystyle{ \det A = -a^2 + a + 12}\). Rozwiązując równanie \(\displaystyle{ \det A =0}\) otrzymujemy, że dla \(\displaystyle{ a\not\in\{-3,4\}}\) układ posiada (z tw. Cramera) dokładnie jedno rozwiązanie (zerowe).

Przypadek \(\displaystyle{ a = 4}\).
Odrzucamy trzecie równanie i przenosimy \(\displaystyle{ z}\) na drugą stronę.
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x - y = z \\
3x + 4y = 0
\end{cases}}\)

Rozwiązanie to:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x = \frac{4}{7}z \\
y = -\frac{3}{7}z \\
z \in \mathbb{R}.
\end{cases}}\)


Przypadek \(\displaystyle{ a = -3}\).
Odrzucamy drugie równanie i przenosimy \(\displaystyle{ y}\) na drugą stronę.
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x - z = y \\
4x + 3z = 4y
\end{cases}}\)

Rozwiązanie to:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x = y \\
y \in \mathbb{R} \\
z =0.
\end{cases}}\)

Oldevil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 27 cze 2011, o 13:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

Układ równań w zależności od parametru a

Post autor: Oldevil » 27 cze 2011, o 14:09

Już wszystko rozumiem. Dzięki wielkie za pomoc. I to już jest całe zadanie? Spróbuję zrobić na tej zasadzie kolejne i wrzucę moje rozwiązanie dla układu równań:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} -x+y+z=0\\4x+ay-4z=0\\3x-3y+az=0 \end{array}}\)

wyznacznik macierzy głównej det A= \(\displaystyle{ a^{2}}\)-7a-12
Rozwiązując det A = 0
Otrzymuje ze dla \(\displaystyle{ a\not\in \left\{ -4,-3\right\}}\) układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie.

Przypadek a=-4
Odrzuciłem 3 równanie i wyszło:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-y=z\\4x-4y=4z \end{array}}\)
i co mam dalej z tym zrobić?

-- 3 lip 2011, o 17:46 --

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-y-z=0\\3x+ay=0\\4x-4y-az=0 \end{array}}\)[/quote]

jak to rozwiązać za pomocą rozwinięcia Laplace'a ??

ODPOWIEDZ