Pole powierzchni elipsoidy

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
czeslaw
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2156
Rejestracja: 5 paź 2008, o 22:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Politechnika Wrocławska
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 317 razy

Pole powierzchni elipsoidy

Post autor: czeslaw » 27 cze 2011, o 13:09

Zadanie brzmi tak:
Obliczyć pole powierzchni elipsoidy powstałej z obrotu elipsy
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1}\)
dookoła osi OX.
To będzie to samo co obrót górnej półelipsy, więc zapisuję równanie górnej półelipsy właśnie:
\(\displaystyle{ y = \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}}\)

Wzór na pole powierzchni bryły powstałej z obrotu figury o wzorze f(x) dookoła osi OX:
\(\displaystyle{ S = 2 \pi \int_{-a}^a f(x) \sqrt{1+f'(x))^2} dx}\), zatem przyjmuję \(\displaystyle{ y=f(x)}\), \(\displaystyle{ y' = \frac{b}{a} \cdot \frac{-2x}{-2\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{bx}{a\sqrt{a^2-x^2}}}\)
i wstawiam do powyższego wzoru. Jest:
\(\displaystyle{ S = 2\pi \int_{-a}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2} \cdot \sqrt{1+\frac{b^2 x^2}{a^2 \cdot (a^2 - x^2)}} dx = \frac{2\pi b}{a} \int_{-a}^a \sqrt{x^2(\frac{b^2}{a^2} - 1) + a^2} dx}\)

Moje pytanie sprowadza się do tego, jak policzyć całkę
\(\displaystyle{ \int_{-a}^a \sqrt{x^2(\frac{b^2}{a^2} - 1) + a^2} dx}\).
Mathematica zwraca mi wyniki zespolone, więc chyba się gdzieś pomyliłem.


Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Pole powierzchni elipsoidy

Post autor: Rogal » 27 cze 2011, o 13:34

Całkę postaci \(\displaystyle{ \int \sqrt{Ax^{2} + B} dx}\) liczymy albo podstawieniem hiperbolicznym, albo tangensem albo mnożymy licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek i korzystamy z metody współczynników nieoznaczonych Lagrange'a.
A całkowacz w Mathematice nie widzi problemu w podawaniu wyników rzeczywistych w postaci zespolonej. :)

pasman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 165
Rejestracja: 26 lut 2016, o 17:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

Pole powierzchni elipsoidy

Post autor: pasman » 30 wrz 2016, o 20:31

możesz też za a podstawić konkretną liczbę rzeczywistą dodatnią np 5.
wtedy wyjdzie wynik rzeczywisty.
w wyniku zamieniasz 5 na a.

ODPOWIEDZ