Układ równań - macierz 2x3

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
wojtasss91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 25 cze 2011, o 18:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy
Podziękował: 10 razy

Układ równań - macierz 2x3

Post autor: wojtasss91 » 27 cze 2011, o 02:07

Witam, mam małe zadanko z którym nie wiem co zrobić ... Chodzi o takie coś:

Rozwiąż układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+z=1 \\ 2x+3y-z=4 \end{cases}}\)

Oczywiście zaczynam od tego iż robię macierz 2x3 - tylko nie wiem co dalej...


Gdyby ktoś chociaż naprowadził mnie to byłoby super
Z góry pozdrawiam i dziękuję

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Układ równań - macierz 2x3

Post autor: ares41 » 27 cze 2011, o 08:00

Dopisz sobie trzecie równanie:
\(\displaystyle{ 0x+0y+0z=0}\)
i skorzystaj z metody Cramera

miodzio1988

Układ równań - macierz 2x3

Post autor: miodzio1988 » 27 cze 2011, o 10:07

ares41 i później ma tak normalnie liczyć wzorami Cramera?

Lider Artur
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 692
Rejestracja: 19 cze 2011, o 23:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 107 razy

Układ równań - macierz 2x3

Post autor: Lider Artur » 27 cze 2011, o 10:40

Macierz rozszerzona układu \(\displaystyle{ 2x4}\)

fenix86
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 27 cze 2011, o 10:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Układ równań - macierz 2x3

Post autor: fenix86 » 27 cze 2011, o 10:50

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+z=1 \\ 2x+3y-z=4 \end{cases}}\)

Przerzucasz \(\displaystyle{ z}\) na drugą stronę.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=1-z \\ 2x+3y=4+z \end{cases}}\)

Pierwsze równanie mnożysz przez \(\displaystyle{ (-2)}\) i dodajesz do drugiego.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=1-z \\ 5y=2+3z \end{cases}}\)

Drugie równanie mnożysz przez \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\).

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=1-z \\ y=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}z \end{cases}}\)

Drugie równanie dodajesz do pierwszego.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{7}{5}-\frac{2}{5}z \\ y=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}z \\z \in \mathbb{R}\end{cases}}\)

PS: To mój pierwszy post na forum.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Układ równań - macierz 2x3

Post autor: ares41 » 27 cze 2011, o 11:04

miodzio1988 pisze:ares41 i później ma tak normalnie liczyć wzorami Cramera?
Mi to tak tłumaczono Czyli że niemożna?

wojtasss91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 25 cze 2011, o 18:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy
Podziękował: 10 razy

Układ równań - macierz 2x3

Post autor: wojtasss91 » 27 cze 2011, o 11:07

ares41 pisze:Dopisz sobie trzecie równanie:
\(\displaystyle{ 0x+0y+0z=0}\)
i skorzystaj z metody Cramera
Czyli wyjdzie - układ sprzeczny?

miodzio1988

Układ równań - macierz 2x3

Post autor: miodzio1988 » 27 cze 2011, o 11:17

No właśnie się zastanawiam. Bo wzorki nam mówią, żeby dzielić przez \(\displaystyle{ detA}\). Tylko wyznacznik wyjdzie zerowy jeśli wstawimy te trzy sztuczne zera

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Układ równań - macierz 2x3

Post autor: ares41 » 27 cze 2011, o 11:21

No tak, pozostałe wyznaczniki też, więc wydaje mi się, że będzie układ nieoznaczony.

miodzio1988

Układ równań - macierz 2x3

Post autor: miodzio1988 » 27 cze 2011, o 11:23

No to akurat od razu widać fenix86, ładnie rozwalił to zadanko bez wzorów Cramera. I prawidłowo.

fenix86
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 27 cze 2011, o 10:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Układ równań - macierz 2x3

Post autor: fenix86 » 27 cze 2011, o 11:25

Nie można zastosować wzorów Cramera (jeśli dopiszemy sztuczne zera), gdyż macierz główna układu (wymiaru \(\displaystyle{ 3\times 3}\)) będzie osobliwa. Wzory Cramera można byłoby zastosować po przerzuceniu zmiennej \(\displaystyle{ z}\) na drugą stronę, traktując ją jako parametr.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Układ równań - macierz 2x3

Post autor: ares41 » 27 cze 2011, o 11:33

fenix86 pisze:Nie można zastosować wzorów Cramera (jeśli dopiszemy sztuczne zera), gdyż macierz główna układu (wymiaru \(\displaystyle{ 3\times 3}\)) będzie osobliwa.
Tyle że nie chodziło mi o stosowanie wzorów Cramera tylko o zastosowanie metody Cramera, w której w pierwszej kolejności sprawdza się wyznacznik główny, potem pozostałe i na tej podstawie określa się charakter układu.
Nie powinno się utożsamiać metody Cramera ze wzorami Cramera, bo te wzorki to tylko część całej metody rozwiązywania układów równań liniowych.

wojtasss91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 25 cze 2011, o 18:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy
Podziękował: 10 razy

Układ równań - macierz 2x3

Post autor: wojtasss91 » 18 wrz 2011, o 17:29

powracając do tego zadania - nie da się tego zrobić inną metodą - tzn metoda Cramera ?

Awatar użytkownika
Iron_Slax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 27 sie 2011, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 7 razy

Układ równań - macierz 2x3

Post autor: Iron_Slax » 18 wrz 2011, o 17:44

Można. Trzeba skorzystać z Twierdzenia Kroneckera-Capellego:

Widać tutaj że rząd macierzy jest 2. a więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+z=1 \\ 2x+3y-z=4 \end{cases}}\)

Robimy z tego macierz:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1\\2&3\end{bmatrix}}\)
i obliczamy wyznacznik. Wynosi on 5.

Teraz przenosimy parametry na prawą stronę:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=1-z \\ 2x+3y=4+z \end{cases}}\)

I obliczamy zwykłym Cramerem:

\(\displaystyle{ |A_x| = \begin{vmatrix} 1-z&-1\\4+z&3\end{vmatrix} = 7+z \\ x = \frac{7}{5}+\frac{1}{5}z}\)

I tak samo z Y:

\(\displaystyle{ |A_y| = \begin{vmatrix} 1&1-z\\2&4+z\end{vmatrix} = 2+3z \\ x = \frac{2}{5}+\frac{3}{5}z}\)

wojtasss91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 25 cze 2011, o 18:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy
Podziękował: 10 razy

Układ równań - macierz 2x3

Post autor: wojtasss91 » 18 wrz 2011, o 18:34

dzięki wielkie

ODPOWIEDZ