Macierz przekształcenia względem baz

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
achillespl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 2 mar 2009, o 14:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy

Macierz przekształcenia względem baz

Post autor: achillespl » 26 cze 2011, o 20:39

Mam następujące zadanie: Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ T:R^{2} \rightarrow R ^{3}}\) przeprowadza \(\displaystyle{ [1,1]}\) na \(\displaystyle{ [0,1,2]}\) i \(\displaystyle{ [-1,1]}\) na \(\displaystyle{ [2,1,0].}\) Jaka jest macierz przekształcenia \(\displaystyle{ T}\) względem standardowych baz w \(\displaystyle{ R ^{2}}\) i \(\displaystyle{ R ^{3}}\).

Mógłbym ktoś mi wytłumaczyć łopatologicznie jak to zrobić krok po kroku, bo nie mam pojęcia jak się do tego zabrać.

rybka0805
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 14 mar 2011, o 19:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

Macierz przekształcenia względem baz

Post autor: rybka0805 » 26 cze 2011, o 21:44

\(\displaystyle{ T(1,1)=(0,1,2)}\)
\(\displaystyle{ T(-1,1)=(2,1,0)}\) więc stąd można napisać wzór na T, czyli \(\displaystyle{ T(x,y)=T(a(1,1)+b(-1,1))}\) stąd się wylicza, że\(\displaystyle{ a= \frac{x+y}{2}}\) i \(\displaystyle{ b= \frac{y-x}{2}}\), więc \(\displaystyle{ T(x,y)= aT(1,1)+bT(-1,1)= a(0,1,2)+b(2,1,0)=(y-x,y,x+y)}\) i potem \(\displaystyle{ T(1,0)=....=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)}\)
\(\displaystyle{ T(0,1)=....= c(1,0,0)+d(0,1,0)+e(0,0,1)}\) i macierz ma kolumny pierwszą abc i drugą cde. Dosyć jasno? Ale trzeba by, żeby sprawdził to ktoś jest pewny, że to poprawne rozwiązanie:)

Tomek_Z
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 807
Rejestracja: 9 gru 2007, o 14:39
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 181 razy

Macierz przekształcenia względem baz

Post autor: Tomek_Z » 26 cze 2011, o 22:26

Myślę, że powinnaś udać się do obozu resocjalizacji matematyków.

achillespl, wystarczy znaleźć obrazy wersorów. Zauważ, że \(\displaystyle{ T(1,1) = T(1,0)+T(0,1)}\) czyli \(\displaystyle{ T(1,0)+T(0,1) = [0,1,2]}\).

Podobnie zapisz drugi wektor. Wystarczy rozwiązać układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

achillespl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 2 mar 2009, o 14:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy

Macierz przekształcenia względem baz

Post autor: achillespl » 27 cze 2011, o 10:23

Dzięki, już wiem jak to robić

ODPOWIEDZ