objętość bryły

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
peterus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 3 paź 2010, o 23:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

objętość bryły

Post autor: peterus90 » 26 cze 2011, o 15:45

Mam 2 powierzchnie. Pierwsza to \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}}\) a druga \(\displaystyle{ \sqrt{8-x^2-y^2}}\) Nie wiem jak tutaj wyznaczyć granice całkowania i jak zrobić z tego podwójną całkę. Mógłby ktoś to rozwiązać do tego momentu najlepiej z wytłumaczeniem. Z góry dzięki za pomoc. Całkę raczej powinienem dać radę rozwiązać.

loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3044
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 816 razy

objętość bryły

Post autor: loitzl9006 » 26 cze 2011, o 18:03

Czyli z góry bryłę ogranicza powierzchnia \(\displaystyle{ z=\sqrt{8-x^2-y^2}}\) , a z dołu \(\displaystyle{ z=\sqrt{x^2+y^2}}\). Rzut tej bryły na płaszczyznę \(\displaystyle{ 0xy}\) jest kołem o środku w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ R=2}\)\(\displaystyle{ }\).
Do policzenia całki warto więc wprowadzić współrzędne biegunowe:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=r \cdot \cos \varphi \\ y=r \cdot \sin \varphi \end{cases}}\)

Rzut bryły na płaszczyznę \(\displaystyle{ 0xy}\) można więc opisać:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \le r \le 2 \\ 0 \le \varphi \le 2 \pi \end{cases}}\)

i skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} =r ^{2}}\)

i nie zapominać o jakobianie przekształcenia \(\displaystyle{ r}\).

ODPOWIEDZ