Współczynnik koleralacji niezależnych zmiennych losowych

[silvaran]

Niech \(\displaystyle{ X_1, X_2, ... X_n}\) - iid o rozkładzie \(\displaystyle{ U([0,1])}\). Niech Z_k oznacza średnią geometryczną pierwszych k zmiennych, tzn \(\displaystyle{ Z_k= \sqrt[k]{X_1 \cdot X_2 \cdot ... X_k}}\).
Obliczyć współczynnik korelacji \(\displaystyle{ \rho (Z_i, Z_j)}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ i,j \in {1,2,...n}}\)

Więc przyda mi się:
\(\displaystyle{ E(Z_i), \ E(Z_i^2), \ E(Z_i Z_j)}\)
No to jedziemy po kolei:
\(\displaystyle{ E(Z_i)=E(\sqrt{X_1 \cdot X_2 \cdot ... X_i})=E(\sqrt{X_1} \cdot\sqrt{ X_2} \cdot ... \sqrt{X_i})=\\ = E(\sqrt{X_1}) \cdot E(\sqrt{ X_2}) \cdot ... E(\sqrt{X_i})=\left( E(\sqrt{ X_1})\right) ^i}\) Tu skorzystałem z niezależności i tego, że wszystkie zmienne X mają taki sam rozkład, dobrze?
Policzyłem całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \sqrt{x} \mbox{d}x}\) i ostatecznie wartość oczekiwana wyszła:
\(\displaystyle{ E(Z_i)=\left( \frac{i}{i+1} \right)^i}\)
Natomiast
\(\displaystyle{ E(Z_i^2)=\left( \frac{i}{i+2} \right)^i}\)

Dobrze?

A co z wartością oczekiwaną mieszaną? Może być już lekki problem, jakieś sugestie?

[Wasilewski]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ i<j}\), wtedy \(\displaystyle{ Z_{i} Z_{j} = X_{1}^{\frac{1}{i}+\frac{1}{j}} \cdot \ldots \cdot X_{i}^{\frac{1}{i}+\frac{1}{j}} \cdot X_{i+1}^{\frac{1}{j}} \ldots \cdoy X_{j}^{\frac{1}{j}}}\) i dalej korzystasz z niezależności.

[Kamil_B]

Jak dla mnie wygląda ok.
Co do tej ostatniej wartości oczekiwanej to taki sam rachunek: przyjmij, dla ustalenia uwagi, że \(\displaystyle{ j>i}\). Wtedy możemy napisać:

\(\displaystyle{ E(Z_i Z_j)=E(\sqrt{X_1 \cdot X_2 \cdot ... X_i} \cdot \sqrt[j]{X_1 \cdot X_2 \cdot ... X_j})=}\)

\(\displaystyle{ E(X_{1}^{ \frac{1}{i}+ \frac{1}{j} }\cdot X_{2}^{ \frac{1}{i}+ \frac{1}{j} }\cdot ... \cdot X_{i}^{ \frac{1}{i}+ \frac{1}{j} }\cdot X_{i+1}^{ \frac{1}{j} }\cdot... \cdot X_{j}^{ \frac{1}{j} })=}\)

\(\displaystyle{ E(X_{1}^{ \frac{1}{i} + \frac{1}{j} })^{i} \cdot E(X_{1}^{\frac{1}{j} })^{j-i}}\)

Dalej podobne rachunki jak wcześniej