Zadania dotyczące równań funkcyjnych

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
tolek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 3 lut 2009, o 16:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wadowice
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 15 razy

Zadania dotyczące równań funkcyjnych

Post autor: tolek » 26 cze 2011, o 10:32

Hej, rozwiązuję właśnie zadania z równań funkcyjnych i mam mały problem z dwoma zadaniami.

1. Udowodnić, że każda ciągła funkcja \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) spełniająca warunki:

\(\displaystyle{ (a) \forall_{x,y \in R} f(x+y)+f(x-y)=2f(x)}\)
\(\displaystyle{ (b) f(0)=c \neq 0}\)

jest postaci \(\displaystyle{ f(x)=cx, x \in R}\)



2. Wyznaczyć wszystkie funkcje ciągłe \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) spełniające warunek:

\(\displaystyle{ \forall _{x,y \in R} f(x+y)=f(x)f(y)}\).



Proszę o szybką pomoc

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Zadania dotyczące równań funkcyjnych

Post autor: Rogal » 26 cze 2011, o 11:27

1. Funkcja postaci \(\displaystyle{ f(x) = cx}\) nie spełnia warunku b), bo \(\displaystyle{ f(0) = 0}\).

2. Najpierw znajdź sobie f(0). Potem policz f(1) i indukcyjnie masz dla wszystkich całkowitych dodatnich.
Potem liczysz f(-1) i indukcyjnie masz dla całkowitych ujemnych. Następnie liczysz \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{n} \right)}\) i masz dla liczb wymiernych.
Ponieważ zaś liczby wymierne są gęste w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), a funkcja jest ciągła, to wynik Twój przedłuża się na wszystkie liczby rzeczywiste.

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

Zadania dotyczące równań funkcyjnych

Post autor: Marcinek665 » 26 cze 2011, o 11:32

Jeśli w pierwszym położymy \(\displaystyle{ x=y=0}\), to dostaniemy \(\displaystyle{ f(0) = c}\), czyli coś się sypie w założeniach. Chyba nie powinno być \(\displaystyle{ c \neq 0}\).

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Zadania dotyczące równań funkcyjnych

Post autor: Lorek » 26 cze 2011, o 11:46

W 2. można też pokazać, że albo \(\displaystyle{ f\equiv 0}\) albo dla każdego \(\displaystyle{ x:\ \ f(x)>0}\) i rozważyć funkcję \(\displaystyle{ g(x)=\ln f(x)}\), która to będzie miała ciekawe własności, z których otrzymamy rozwiązanie.

tolek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 3 lut 2009, o 16:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wadowice
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 15 razy

Zadania dotyczące równań funkcyjnych

Post autor: tolek » 26 cze 2011, o 11:47

Co do pierwszego, to doszedłem do tego samego wniosku. Zadania dostałem od promotora i pisałem już do niego czy nie ma tam jakiegoś błędu, ale jeszcze nie odpisał. Dlatego pytałem. A za drugie serdeczne dzięki -- 26 cze 2011, o 11:51 --Co do drugiego jeszcze. Licząc f(1) podstawić x=y=1/2? Czy jakoś bardziej ogólnie. Podobnie dla f(-1) i f(1/n)

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Zadania dotyczące równań funkcyjnych

Post autor: Rogal » 26 cze 2011, o 11:56

Zdecydowanie lepiej jest napisać: \(\displaystyle{ f(0+1) = f(0)f(1)}\) ;-)
Rozwiązanie Lorka jest bardziej może eleganckie, acz i tak trzeba będzie wykazać, co jest rozwiązaniem tego nowego równania w analogiczny sposób jak tutaj, więc praca dość podobna.

tolek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 3 lut 2009, o 16:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wadowice
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 15 razy

Zadania dotyczące równań funkcyjnych

Post autor: tolek » 26 cze 2011, o 12:11

No dobra. Czyli z tego wiem, że f(0)=1, tak? Bo jak wyznaczam wartość w 1 to mi wychodzi, że \(\displaystyle{ f(0+1)=f(1)=f(0)f(1) \Rightarrow f(0)=1}\)

A co teraz z tą indukcją? Możesz przeliczyć dla f(1)?-- 26 cze 2011, o 12:28 --Bo rozwiązaniem są wszystkie funkcje wykładnicze, nie? Chodzi mi o metodę rozwiązania pokazaną możliwie najłatwiej. Jakoś równań funkcyjnych nie trawię za bardzo, a muszę zrobić to zadanie na najpóźniej jutro. Wydaje mi się to proste, ale sam chyba nie rozkminię tego.

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Zadania dotyczące równań funkcyjnych

Post autor: Rogal » 26 cze 2011, o 13:02

Tak. Z tego masz f(0), choć znacznie lepiej jest policzyć f(0+0) = f(0)f(0), bo z tego otrzymasz, że f(0) = 1 lub f(0) = 0, który to drugi przypadek zaprowadzi Cię do rozwiązania f(x) = 0.
Natomiast mając policzone, że f(0) = 1 otrzymujesz, że f(1) = f(1), czyli możesz przyjąć f(1) = a dla pewnego a rzeczywistego i różnego od zera (bo to już rozpatrzyłeś).
Następnie obliczasz f(n+1) = f(1)f(n), co przez indukcje daje Ci wzór \(\displaystyle{ f(n) = a^{n}}\).
Tutaj póki co, a mogło być dowolne rzeczywiste różne od zera. Dla wykładników całkowitych (do których przechodzisz analogicznie) tak ogólne założenie jest nadal w mocy.
Jednak, przechodząc do wymiernych łatwo okaże się, że a musi być dodatnie.

Jak będziesz miał nadal kłopoty, to pisz. :)

tolek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 3 lut 2009, o 16:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wadowice
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 15 razy

Zadania dotyczące równań funkcyjnych

Post autor: tolek » 26 cze 2011, o 14:25

Chyba jednak będę mieć problem. Wychodzi mi tak

Wyznaczyć wszystkie ciągłe funkcje \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) spełniające warunek
(1) \(\displaystyle{ \forall_{x,y\inR}f(x+y)=f(x)f(y)}\)


Weźmy \(\displaystyle{ x=y=0}\). Wówczas mamy
\(\displaystyle{ f(0+0)=f(0)=f(0)f(0)=(f(0))^2}\)
Stąd
\(\displaystyle{ f(0)=1 \vee f(0)=0}\).
Załóżmy, że \(\displaystyle{ f(0)=0}\). Mamy wtedy kładąc w (1) \(\displaystyle{ x=0, y=1}\) dostajemy
\(\displaystyle{ f(0+1)=f(1)=f(0)f(1)=0}\)
Niech \(\displaystyle{ x=0, y=n}\). Obliczmy
\(\displaystyle{ f(0+n)=f(n)=f(0)f(n)=0}\)
Mamy zatem
(2)\(\displaystyle{ \forall_{x\inR} f(x)=0}\).

Kładąc teraz w (1) \(\displaystyle{ x=0, y=1}\) dostajemy
\(\displaystyle{ f(0+1)=f(1)=f(0)f(1)}\)
Stąd wiemy, że
\(\displaystyle{ f(0)=1}\)
Zatem
\(\displaystyle{ f(1)=f(1)}\)

Oznaczmy \(\displaystyle{ f(1)=a}\), gdzie [texainR{0}[/latex]. Bowiem dla \(\displaystyle{ a=0}\) mamy już (2).

Weźmy teraz \(\displaystyle{ x=n, y=1, n\inN}\) co daje nam
\(\displaystyle{ f(n+1)=f(1)f(n)=....}\)

Co dalej?

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Zadania dotyczące równań funkcyjnych

Post autor: Rogal » 26 cze 2011, o 15:53

Indukcja - dowodzisz wzoru, który Ci wyżej napisałem.

tolek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 3 lut 2009, o 16:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wadowice
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 15 razy

Zadania dotyczące równań funkcyjnych

Post autor: tolek » 26 cze 2011, o 16:02

Dobra, dobra Mam. Nie doczytałem. Dzięki wielkie.

ODPOWIEDZ