Funkcja z argumentem w górnej granicy całkowania

[porucznik]

Witam serdecznie, chciałbym poprosić o sprawdzenie rozwiązania poniższego zadania:

Określmy funkcję \(\displaystyle{ F(x) = \int_{1}^{x^2} \frac{\sin t}{t^2} dt}\). Obliczając pochodną tej funkcji, znajdź w przedziale \(\displaystyle{ [1,2]}\) punkt \(\displaystyle{ x}\), w którym ma ona ekstremum i sprawdź, czy to maksimum, czy minimum (bez obliczania wartości funkcji w tym punkcie).

Wprowadźmy oznaczenia:

\(\displaystyle{ H(x) = \int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t^2} dt \ \ \ g(x) = x^2}\)

\(\displaystyle{ [F(x)]'= [H(g(x))]' = H'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{\sin{x^2}}{x^4} \cdot 2x = 2 \frac{\sin{x^2}}{x^3}}\)

\(\displaystyle{ [F(x)]'=0 \iff x=\sqrt{\pi} \in [1,2]}\)

Zatem punkt \(\displaystyle{ x=\sqrt{\pi}}\) jest kandydatem na ekstremum na zadanym przedziale. Zbadamy 2gą pochodną:

\(\displaystyle{ [F(x)]''= 2 \cdot \frac{2x^2 \cos{x^2} - 3\sin{x^2}}{x^4}}\)

\(\displaystyle{ [F(\sqrt{\pi})]'' = \frac{-4}{\pi} < 0}\)

zatem funkcja \(\displaystyle{ F}\) ma w punkcie \(\displaystyle{ x=\sqrt{\pi}}\) maksimum lokalne.

Pozdrawiam.

[rodzyn7773]

Raczej dobrze z jednym małym zastrzeżeniem. Po tym, że pochodna się zeruje nie można od razu wnioskować że w tym punkcie ma ekstremum. Dopiero po sprawdzeniu wartości drugiej pochodnej w tym punkcie można to stwierdzić.

[porucznik]

Dziękuję. Poprawiłem, powinno być już w porządku.