szereg taylora

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
jar_007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 9 gru 2008, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Złotoryja/Wrocław
Podziękował: 2 razy

szereg taylora

Post autor: jar_007 » 26 cze 2011, o 00:03

Cześć, na wstępie powiem, że przygodę z matematyka zakończyłem dość dawno i potrzebuję jej teraz jednorazowo. Proszę o wyrozumiałość.
W ogóle czy "\(\displaystyle{ \mbox{d}f(x)/ \mbox{d}x}\)" jest równoznaczne z "y", czy f(x)? czy to jest tylko pochodna funkcji i najpierw muszę to całkować, czy coś? (tego by mi brakowało)

Mam za zadanie z opisać zachowanie funkcji \(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}f(x)}{ \mbox{d}x}=\frac{2sin(x)}{x}}\) w pobliżu zera, przy pomocy szeregu.
Ktoś był na tyle dobry, że to policzył(chyba jakimś programem) szereg taylora i wiem że wynik to:\(\displaystyle{ 2- \frac{x^{2}}{3}+\frac{x^{4}}{60}-\frac{x^{6}}{2520}+\frac{x^{8}}{181440}-\frac{x^{10}}{19958400}}\).
Tylko nie mam pojęcia jak to powstało i co się gdzie podstawia do wzoru:/
Nie wiem też co mi to w ogóle daje(to chyba moje podstawowe pytanie), bo prędzej jestem w stanie wyobrazić sobie wygląd funkcji pierwotnej niż tego co wyszło.
(Program go rysowania funkcji dowodzi, że policzone jest dobrze, bo w okolicy zera się pokrywają)

Wiem, że to żałosne, ale nie umiem nawet drugiego elementu policzyć:/
jeszcze raz przepraszam, że pytam o takie podstawowe sprawy, ale mnie to i tak przerosło. Może jak mnie ktoś naprowadzi to sam uznam że to proste, ale teraz nie wiem jak to ugryźć

Edit: OK zaraz spróbuję
:] teraz chyba lepiej
Ostatnio zmieniony 26 cze 2011, o 01:01 przez jar_007, łącznie zmieniany 10 razy.

leonek74
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 193
Rejestracja: 2 sty 2011, o 18:32
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 15 razy

szereg taylora

Post autor: leonek74 » 26 cze 2011, o 00:32

Popraw swojego posta, aby był czytelny. Skorzystaj z LaTeX. O tej porze nie chce mi się odwracać tych znaczków na 'ludzki' język.

-- 26 cze 2011, o 01:33 --

Na to wygląda, że masz rozwinąć w szereg Taylora to co masz, czyli masz pochodną. Jak to scałkujesz otrzymasz f. wyjściową. Ale masz Taylora zrobić z tego, więc: potraktuj tą pochodną jakby to była 'zwykła" funkcja a nie pochodna. Policz pochodną z tego, później z tego co policzysz i tak pięć razy. Później do każdej policzonej pochodnej za 'x' podstaw 'zero'. Dalej sam ....

EDIT:
czyli \(\displaystyle{ Taylor \ z \ f\prime(x)}\) czyli \(\displaystyle{ Taylor \ z\ \int_{}^{} f(x)}\)
Ostatnio zmieniony 26 cze 2011, o 01:42 przez leonek74, łącznie zmieniany 1 raz.

jar_007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 9 gru 2008, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Złotoryja/Wrocław
Podziękował: 2 razy

szereg taylora

Post autor: jar_007 » 26 cze 2011, o 01:41

OK, dzięki. Jutro spróbuję (nie mam wyjścia) bo na pon potrzebne:D
a jak już otrzymam ten szereg (pewnie taki jak już napisałem to co mi to daje? Jak mi to pomaga opisać zachowanie funkcji w tym punkcie?

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9335
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2043 razy

szereg taylora

Post autor: Dasio11 » 27 cze 2011, o 13:34

Funkcja \(\displaystyle{ F(x)}\) taka, że \(\displaystyle{ F'(x) = \frac{2 \sin x}{x}}\) jest nieelementarna, więc na wzór jawny raczej bym nie liczył. Żeby rozwinąć ją w szereg Taylora nie potrzeba żadnych programów ani wielokrotnego liczenia pochodnych, wystarczy skorzystać ze znanego rozwinięcia sinusa:

\(\displaystyle{ \sin x = x-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots}\)

i stąd

\(\displaystyle{ F(x) = \int \frac{2 \sin x}{x} \mbox dx = \int \left( 2- \frac{2x^2}{3!} + \frac{2x^4}{5!} - \frac{2x^6}{7!} + \cdots \right) \mbox dx}\)

czyli wystarczy skorzystać z twierdzenia o całkowaniu szeregu.
Co masz na myśli pisząc o 'zachowaniu funkcji w punkcie'?

ODPOWIEDZ