Relacja równoważności

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
forestdmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 19 cze 2011, o 19:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Relacja równoważności

Post autor: forestdmi » 25 cze 2011, o 20:36

Witam,
mam zadanie za które nie wiem jak się zabrać.
Proszę o ewentualne podpowiedzi lub rozwiązania.

Zadanie:
Dla zbiory\(\displaystyle{ X}\) oraz relacji \(\displaystyle{ R \subseteq X \times X}\) zbadać czy \(\displaystyle{ R}\) Jest relacją równoważności, jeżeli tak wskazać klasy abstrakcji.
Jeżeli relacja nie jest relacją równoważności rozstrzygnij, które własności ( zwrotna, przechodnia, symetryczna) relacja posiada, a które nie.
\(\displaystyle{ X}\)-zbiór liczb naturalnych, \(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow 2|x-y}\)

z góry dziękuję za odpowiedzi.
i jeszcze jedno pytanie jak to rozumieć i interpretować: \(\displaystyle{ R \subseteq X \times X}\)?

Pozdrawiam

miodzio1988

Relacja równoważności

Post autor: miodzio1988 » 25 cze 2011, o 20:38

i jeszcze jedno pytanie jak to rozumieć i interpretować
Masz zwykłe zawieranie. Nie ma co tutaj interpretować.

Co to znaczy, że relacja jest zwrotna?

forestdmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 19 cze 2011, o 19:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Relacja równoważności

Post autor: forestdmi » 25 cze 2011, o 20:49

miodzio1988 pisze:
i jeszcze jedno pytanie jak to rozumieć i interpretować
Masz zwykłe zawieranie. Nie ma co tutaj interpretować.

Co to znaczy, że relacja jest zwrotna?

No właśnie nie mogę tego zrozumieć ale wiem, że relacja zwrotna to relacja która zachodzi dla każdej pary postaci \(\displaystyle{ (x,x)}\)

dla większości to pytanie jest banalne ale nie moge tego sobie wbić do głowy żeby to zrozumieć, matematyka dyskretna niby bardzo prosta bo nie trzeba prawie nic liczyć ale jednak jak jej nie zrozumiesz do końca to nic nie zrobisz.

miodzio1988

Relacja równoważności

Post autor: miodzio1988 » 25 cze 2011, o 20:56

Relacja jest zwrotna wtedy gdy każdy element jest sam ze sobą w relacji.

Czy u nas tak jest? Co to jest:

\(\displaystyle{ xRx}\) ?

forestdmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 19 cze 2011, o 19:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Relacja równoważności

Post autor: forestdmi » 25 cze 2011, o 21:08

\(\displaystyle{ xRx}\) to znaczy: że istnieje takie x należące do A i wtedy x jest w relacji z x \(\displaystyle{ xRx}\)
Napisałem słowami bo nie wiem jak się tu używa tych kwantyfikatorów w sumie to ich nie widzę

miodzio1988

Relacja równoważności

Post autor: miodzio1988 » 25 cze 2011, o 21:10

\(\displaystyle{ xRx \Leftrightarrow 2|x-x \Leftrightarrow}\)

Dokończ

forestdmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 19 cze 2011, o 19:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Relacja równoważności

Post autor: forestdmi » 25 cze 2011, o 21:18

miodzio1988 pisze:\(\displaystyle{ xRx \Leftrightarrow 2|x-x \Leftrightarrow}\)

Dokończ
\(\displaystyle{ 2|x-x \Rightarrow 2|0}\) to jest zwrotna

miodzio1988

Relacja równoważności

Post autor: miodzio1988 » 25 cze 2011, o 21:21

No super. Resztę własnosci sprawdzasz tak samo

forestdmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 19 cze 2011, o 19:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Relacja równoważności

Post autor: forestdmi » 25 cze 2011, o 21:30

miodzio1988 pisze:No super. Resztę własnosci sprawdzasz tak samo
To jeśli mówisz żebym sprawdził reszte tak samo tzn że ta relacja nie jest relacją równoważności i nie muszę wskazywać klasy abstrakcji?
A jak w tym przypadku sprawdzić czy jest relacją równoważności?

miodzio1988

Relacja równoważności

Post autor: miodzio1988 » 25 cze 2011, o 21:32

A jak w tym przypadku sprawdzić czy jest relacją równoważności?
Sprawdź czy jest symetryczna i przechodnia jeszcze

forestdmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 19 cze 2011, o 19:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Relacja równoważności

Post autor: forestdmi » 25 cze 2011, o 21:41

symetryczna:
\(\displaystyle{ 2|x-y}\)
\(\displaystyle{ 2|x-y \Leftrightarrow 2|y-x}\) jest symetryczna tylko wtedy kiedy x i y są liczbami parzystymi lub nieparzystymi

przechodnia:
\(\displaystyle{ 2|x-y}\)
\(\displaystyle{ \left( 2|x-y\right) \wedge \left( 2|y-z\right) \Leftrightarrow \left( 2|x-y + y-z\right) \Rightarrow \left( 2|x-z\right)}\)
Więc warunek :
\(\displaystyle{ \left( 2|x-y\right) \wedge \left( 2|y-z\right) \Rightarrow \left( 2|x-z\right)}\) jest spełniony

xanowron
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

Relacja równoważności

Post autor: xanowron » 3 lip 2011, o 17:46

No to jest to relacja równoważności. Teraz klasy abstrakcji wyznacz.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26897
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4496 razy

Relacja równoważności

Post autor: Jan Kraszewski » 3 lip 2011, o 20:05

forestdmi pisze:\(\displaystyle{ \left( 2|x-y\right) \wedge \left( 2|y-z\right) \Leftrightarrow \left( 2|x-y + y-z\right)}\)
Drobna uwaga: tu nie ma równoważności, tylko wynikanie.

Sprawdź dla \(\displaystyle{ x=z=1, y=0}\).

JK

ODPOWIEDZ