Objętość figury ograniczonej płaszczyznami

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Tommy_Lee
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 28 sty 2011, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ZUT

Objętość figury ograniczonej płaszczyznami

Post autor: Tommy_Lee » 25 cze 2011, o 19:51

Witam

Płaszczyzny to:
\(\displaystyle{ z=x^{2}+y^{2}}\) czyli paraboloida obrotowa
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2x\Rightarrow(x-1)^{2}+y^{2}=1}\) czyli walec obrotowy o środku w punkcie (1,0) i promieniu 1
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=4x\Rightarrow(x-2)^{2}+y^{2}=4}\) czyli walec obrotowy o środku w punkcie (2,0) i promieniu 2.
\(\displaystyle{ z=0}\) ograniczenie od dołu.

A więc tak:
Ustaliłem obszar po współrzędnych biegunowych:
\(\displaystyle{ \begin{cases}2\cos{\phi}\leqslant\rho\leqslant4\cos{\phi}\\
- \frac{\pi}{2}\leqslant\phi\leqslant\frac{\pi}{2}\end{cases}}\)


Czy dobrze ustaliłem obszar ?
Czy jeśli dobrze ustaliłem obszar to wystarczy teraz obliczyć tylko:
\(\displaystyle{ \iint_{D}(x^{2}+y^{2}-0)dxdy}\) <-- oczywiście zamieniając na \(\displaystyle{ \phi}\) i \(\displaystyle{ \rho}\)?

Z góry dzięki za odpowiedź.
Ostatnio zmieniony 25 cze 2011, o 19:52 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: funkcje trygonometryczne - punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Objętość figury ograniczonej płaszczyznami

Post autor: Chromosom » 25 cze 2011, o 19:53

tak

pavel332
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 7 paź 2008, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pawłowice
Podziękował: 1 raz

Objętość figury ograniczonej płaszczyznami

Post autor: pavel332 » 26 cze 2011, o 12:46

Sam uczę się na egzam z maty... rozwiązałem teraz to zadanie i ku mojemu zdziwieniu wyszło mi 0
Czy mógłby ktoś powiedzieć co robię źle?


\(\displaystyle{ \iint (x^{2}+y^{2}-0)dxdy = \iint r^{2}r d \phi dr =
\int_{- \frac{ \pi }{2} }^{ \frac{ \pi }{2} }d \phi \int_{2\cos \phi}^{4\cos \phi} r^{3} dr =
\int_{- \frac{ \pi }{2} }^{ \frac{ \pi }{2} } \frac{r^{4}}{4} _{2\cos \phi}^{4\cos \phi} d \phi=
\int_{- \frac{ \pi }{2} }^{ \frac{ \pi }{2} } \frac{(4\cos \phi)^{4}}{4}-\frac{(2\cos \phi)^{4}}{4} d \phi = \int_{- \frac{ \pi }{2} }^{ \frac{ \pi }{2} } 60 \cos ^{4} \phi d \phi = 60 \int_{- \frac{ \pi }{2} }^{ \frac{ \pi }{2} } \cos ^{4} \phi d \phi = \left(\frac{3}{8}+ \frac{1}{2}\cos 2 \phi+ \frac{1}{8}\cos 4 \phi\right) _{- \frac{ \pi }{2} }^{ \frac{ \pi }{2} } = \left(\frac{3}{8}+ \frac{1}{2}\cos \pi+ \frac{1}{8}\cos 2\pi \right)- \left(\frac{3}{8}+ \frac{1}{2}\cos (-\pi)+ \frac{1}{8}\cos (-2\pi)\ \right) = 0}\)
Ostatnio zmieniony 26 cze 2011, o 20:04 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Objętość figury ograniczonej płaszczyznami

Post autor: Chromosom » 26 cze 2011, o 20:04

ostatnia całka oznaczona z funkcji trygonometrycznej jest źle obliczona

pavel332
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 7 paź 2008, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pawłowice
Podziękował: 1 raz

Objętość figury ograniczonej płaszczyznami

Post autor: pavel332 » 26 cze 2011, o 21:42

Hmm... takie coś znalazłem na TYM forum bo sam nie wiedziałem jak ją obliczyć... próbowałem podstawieniem ale zamotałem się.

38989.htm

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Objętość figury ograniczonej płaszczyznami

Post autor: Chromosom » 27 cze 2011, o 20:16

przekształcenie nie odnosi się do całki tylko do funkcji podcałkowej

ODPOWIEDZ