Wykazywanie zależności (Kiełbasa)

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
koalda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 23 cze 2011, o 15:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik

Wykazywanie zależności (Kiełbasa)

Post autor: koalda » 25 cze 2011, o 19:23

Kompletnie nie wiem jak to ruszyć:
\(\displaystyle{ \hbox{Wykaż, że jeśli }\frac{a_{1}}{b_{1}}= \frac{a_{2}}{b_{2}} =...= \frac{a_{n}}{b_{n}}\hbox{ i } b_{1}+b_{2}+...+b_{n} \neq 0 \\\hbox{ to } \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}= \frac{a_{1}}{b_{1}}}\)

Awatar użytkownika
Zimnx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 194
Rejestracja: 9 kwie 2009, o 12:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 24 razy

Wykazywanie zależności (Kiełbasa)

Post autor: Zimnx » 25 cze 2011, o 19:26

Skorzystaj z wzoru na sume ciagu arytmetycznego.

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Wykazywanie zależności (Kiełbasa)

Post autor: » 25 cze 2011, o 19:29

Zimnx pisze:Skorzystaj z wzoru na sume ciagu arytmetycznego.
A gdzie tu jest ciąg arytmetyczny?

Co do zadania - wskazówka: oznacz \(\displaystyle{ \frac{a_1}{b_1}=\ldots = \frac{a_n}{b_n}=t}\), skąd wiadomo, że dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) jest \(\displaystyle{ a_k=tb_k}\). Wystarczy teraz to podstawić do lewej strony równości, której mamy dowieść.

Q.

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

Wykazywanie zależności (Kiełbasa)

Post autor: Vax » 25 cze 2011, o 19:29

248263.htm

Awatar użytkownika
Zimnx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 194
Rejestracja: 9 kwie 2009, o 12:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 24 razy

Wykazywanie zależności (Kiełbasa)

Post autor: Zimnx » 25 cze 2011, o 19:35

Qń pisze:A gdzie tu jest ciąg arytmetyczny?
Mamy doczynienia z ciagiem arytmetycznym o roznicy rownej 0.
wikipedia pisze:Każdy ciąg stały jest ciągiem arytmetycznym, gdyż różnica takiego ciągu wynosi 0.
/edit

Faktycznie blef, wstyd.
przepraszam
Ostatnio zmieniony 25 cze 2011, o 19:37 przez Zimnx, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
smigol
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

Wykazywanie zależności (Kiełbasa)

Post autor: smigol » 25 cze 2011, o 19:37

Zimnx, no i jak to wykorzystać?

Awatar użytkownika
Zimnx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 194
Rejestracja: 9 kwie 2009, o 12:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 24 razy

Wykazywanie zależności (Kiełbasa)

Post autor: Zimnx » 25 cze 2011, o 19:39

Pierwsza mysl jaka mi przyszla ze \(\displaystyle{ a_1=a_2=a_3=...=a_n}\) i analogicznie \(\displaystyle{ b_1=...=b_n}\). Wtedy dwa razy na sume ciagu i wychodzi.

Awatar użytkownika
smigol
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

Wykazywanie zależności (Kiełbasa)

Post autor: smigol » 25 cze 2011, o 19:45

Zimnx, gdyby tak było, to w liczniku mamy \(\displaystyle{ n \cdot a_1}\), a w mianowniku \(\displaystyle{ n \cdot b_1}\) i \(\displaystyle{ n}\) się skraca, po czym dostajemy wiadomo co... Poza tym, to skąd wytrzasnąłeś \(\displaystyle{ a_1=a_2=a_3=...=a_n}\) i \(\displaystyle{ b_1=b_2=b_3=...=b_n}\)?

Awatar użytkownika
Zimnx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 194
Rejestracja: 9 kwie 2009, o 12:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 24 razy

Wykazywanie zależności (Kiełbasa)

Post autor: Zimnx » 25 cze 2011, o 19:47

Wiem ze blef, napisalem juz to w poprzednim poscie. Dluzszy odpoczynek od matmy robi swoje.

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

Wykazywanie zależności (Kiełbasa)

Post autor: Marcinek665 » 26 cze 2011, o 00:41

Musiałem chwilkę się zastanowić, by zrobić to zadanie, więc zdecydowałem się pójść inną, bardziej schematyczną drogą. Indukcja po \(\displaystyle{ n}\):

Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{1}}{b_{1}}}\)

Więc mamy założenie. Dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) zachodzi: \(\displaystyle{ \frac{a_1+a_2+...+a_k}{b_1+b_2+...+b_k} = \frac{a_1}{b_1}}\)

Wprowadźmy oznaczenia:

\(\displaystyle{ a_1+a_2+...+a_k = X}\), \(\displaystyle{ b_1+b_2+...+b_k = Y}\). Wtedy założenie przyjmuje postać: \(\displaystyle{ \frac{X}{Y} = \frac{a_{1}}{b_{1}}}\)

Przejdźmy z \(\displaystyle{ k}\) do \(\displaystyle{ k+1}\). Wystarczy udowodnić, że:

\(\displaystyle{ \frac{X + a_{k+1}}{Y + b_{k+1}} = \frac{a_{1}}{b_{1}}}\)

Wymnóżmy na krzyż:

\(\displaystyle{ b_{1}X + b_{1}a_{k+1} = a_{1}Y + a_{1}b_{k+1}}\).

Co wobec założeń zadania i założenia indukcyjnego jest prawdą, co kończy dowód indukcyjny.

ODPOWIEDZ