Ekstrema lokalne

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Serphis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 17 wrz 2009, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piotrków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2 razy

Ekstrema lokalne

Post autor: Serphis » 25 cze 2011, o 18:32

Witam Zadanie brzmi następująco:

Znaleźć ekstrema lokalne funkcji:

\(\displaystyle{ f(x,y)=x^3y^2-6xy}\)

\(\displaystyle{ f'x=3x^2y^2-6y}\)
\(\displaystyle{ f'y=2x^3y-6x}\)

Wk istnienia ekstremum

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x^2y^2-6y=0 \\ 2x^3y-6x=0 \end{cases}}\)

z układu wynika, ze punkt podejrzany to (0,0)

\(\displaystyle{ f''xx=6xy^2}\)
\(\displaystyle{ f''xy=6x^2y-6}\)
\(\displaystyle{ f''yx=6x^2y-6}\)
\(\displaystyle{ f''yy=2x^3}\)

zatem nie jest rozstrzygnięte czy jest ekstremum w tym punktcie bo delta 1 jest rowna 0 dla (0,0) co robić w takim wypadku?

pozdrawiam

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Ekstrema lokalne

Post autor: » 25 cze 2011, o 19:10

W takim wypadku musisz sprawdzić ręcznie. Mamy:
\(\displaystyle{ f(0,0)=0}\)
\(\displaystyle{ f\left( \frac 1n , \frac 1n\right) =\frac{1}{n^2}\left( \frac{1}{n^3}-6\right)<0}\)
\(\displaystyle{ f\left( -\frac 1n , \frac 1n\right) =\frac{1}{n^2}\left( -\frac{1}{n^3}+6\right)>0}\)

Oznacza to, że dowolnie blisko punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) funkcja przyjmuje zarówno wartości mniejsze jaki większe niż \(\displaystyle{ f(0,0)}\), zatem z definicji oznacza to, że w tym punkcie nie ma ekstremum.

Q.

Serphis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 17 wrz 2009, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piotrków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2 razy

Ekstrema lokalne

Post autor: Serphis » 25 cze 2011, o 19:13

czyli dla punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) zawsze podstawić \(\displaystyle{ \frac 1n}\) lub \(\displaystyle{ -\frac 1n}\) zalezne od \(\displaystyle{ <,> 0}\) bo nie chce nic poknocić
Ostatnio zmieniony 25 cze 2011, o 19:14 przez , łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Ekstrema lokalne

Post autor: » 25 cze 2011, o 19:17

Niekoniecznie, w bardziej skomplikowanych przykładach trzeba czasem wymyślić bardziej wyrafinowane ciągi punktów zbieżne do \(\displaystyle{ (0,0)}\). Ale rzeczywiście warto zacząć sprawdzanie od tych.

Q.

Serphis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 17 wrz 2009, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piotrków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2 razy

Ekstrema lokalne

Post autor: Serphis » 25 cze 2011, o 19:21

Ok czasem widziałem, że naprowadzało się np \(\displaystyle{ (x,0)}\) w jakim przypadku jest to najlepsze?
Ostatnio zmieniony 25 cze 2011, o 19:23 przez , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Nawet proste wyrażenia matematyczne umieszczaj w klamrach [latex]...[/latex]

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Ekstrema lokalne

Post autor: » 25 cze 2011, o 19:26

Matematyki (na szczęście) nie da się zalgorytmizować. W jednych wypadkach lepiej jest tak, w drugich inaczej, w trzecich jeszcze inaczej.

Q.

Serphis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 17 wrz 2009, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piotrków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2 razy

Ekstrema lokalne

Post autor: Serphis » 25 cze 2011, o 19:39

ok dziękuje bardzo

ODPOWIEDZ