Objętość fragmentu kuli

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
skolukmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 250
Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 5 razy

Objętość fragmentu kuli

Post autor: skolukmar » 25 cze 2011, o 17:41

Mam do rozwiązania takie zadanie:

Przez środek kuli o promieniu 2a wywiercono walcowatą dziurę o promieniu a. Oblicz
objętość pozostałej bryły.

Tutaj będzie występowała całka podwójna czy potrójna ?

Środek kuli jest w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,0)}\). Jesli ustalimy, że \(\displaystyle{ x^2 + y^2+z^2 = a^2}\) to np możemy przemnożyć przez 2 wyznaczoną całkę - Niech \(\displaystyle{ a<z<2a}\) czyli ustalony jest \(\displaystyle{ z}\) dalej mamy koła o promieniu \(\displaystyle{ z}\) i się zacinam. Proszę o pomoc
Ostatnio zmieniony 25 cze 2011, o 19:42 przez , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie dubluj tematów.

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Objętość fragmentu kuli

Post autor: Chromosom » 25 cze 2011, o 19:57

skolukmar pisze:Tutaj będzie występowała całka podwójna czy potrójna ?
możesz obliczyć objętość za pomocą całki podwójnej
skolukmar pisze:Środek kuli jest w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,0)}\). Jesli ustalimy, że \(\displaystyle{ x^2 + y^2+z^2 = a^2}\) to np możemy przemnożyć przez 2 wyznaczoną całkę - Niech \(\displaystyle{ a<z<2a}\) czyli ustalony jest \(\displaystyle{ z}\) dalej mamy koła o promieniu \(\displaystyle{ z}\) i się zacinam. Proszę o pomoc
chcesz skorzystać z symetrii? dalszych wątpliwości nie rozumiem. Promień koła nie jest zmienny. Wykonaj najpierw rysunek i wyznacz obszar całkowania oraz funkcję podcałkową

skolukmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 250
Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 5 razy

Objętość fragmentu kuli

Post autor: skolukmar » 26 cze 2011, o 13:06

Napisałbyś jakbyś to liczył ? (Z wzorem na całkę ? )

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Objętość fragmentu kuli

Post autor: Chromosom » 26 cze 2011, o 20:02

dokładnie tak jak napisałem:
Chromosom pisze:Wykonaj najpierw rysunek i wyznacz obszar całkowania oraz funkcję podcałkową
zrób tak samo

aniaaa1990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 28 sie 2011, o 16:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1 raz

Objętość fragmentu kuli

Post autor: aniaaa1990 » 11 wrz 2011, o 12:20

Cześć .

Mam problem z podobnym zadaniem. Co rozumiesz przez policzenie objętości całką podwójną?

Mam sobie zrobić rzut na któreś osie?
Np. na oś XY będę miała grube hula-hop które mogę opisać: \(\displaystyle{ a < r < 2a , 0 < \varphi < 2 \pi}\).

Funkcja to po prostu kula wyrażona za pomocą \(\displaystyle{ z}\) a potem biegunowymi?
Czyli:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4a^{2} \\ z= \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} \\}\)
Po zamianie na biegunowe mam:
\(\displaystyle{ \sqrt{1-r^{2}} \\ \int_{0}^{2 \pi} \int_{a}^{2a} \sqrt{1-r^2}r dr d\varphi}\)

O takie coś chodzi, czy piszę bzdury?
Ostatnio zmieniony 11 wrz 2011, o 18:54 przez Chromosom, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

skolukmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 250
Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 5 razy

Objętość fragmentu kuli

Post autor: skolukmar » 11 wrz 2011, o 13:25

Ja myślałem tak:
Mamy kule i policzymy objętość \(\displaystyle{ V}\) jako sumę objętości walca o promieniu \(\displaystyle{ a}\), wysokości \(\displaystyle{ 2\sqrt3a}\) i "czegoś" nad walcem.

Jak licze to coś nad walcem?
Rzutuje wrzystko na płaszczyzne \(\displaystyle{ XZ}\) (tzn. \(\displaystyle{ y=0}\). Wtedy oblętość "czegoś" to objętośc wykresu funkcji \(\displaystyle{ z = f(x) = \sqrt{4a^2-x^2}}\) wokół osi \(\displaystyle{ z}\).
Taką objętość liczymy jak objętość walca o promieniu \(\displaystyle{ x}\) i wysokości \(\displaystyle{ f(x)}\), czyli:
\(\displaystyle{ 2\pi \int_{0}^{a}x\sqrt{4a^2-x^2}dx}\)

Podsumowując: moja odp do zadania to:
\(\displaystyle{ V_{kuli} - V_{walca} - V_{czegos}}\)
\(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi {(2a)}^3 - \pi a^2 \cdot 2\sqrt3a - 2\pi \int_{0}^{a}x\sqrt{4a^2-x^2}dx}\)
Czy to jest dobrze ? Nie wiem.

aniaaa1990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 28 sie 2011, o 16:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1 raz

Objętość fragmentu kuli

Post autor: aniaaa1990 » 11 wrz 2011, o 13:59

Hmm, Twoje rozwiązanie też powinno być ok.
Wiesz co? Spróbuje przeliczyć swoim sposobem a potem oszacować poprawne rozwiązanie.
Jak to zrobię to podam wynik i możemy porównać sobie.

-- 11 wrz 2011, o 14:29 --

Okay,

Niech \(\displaystyle{ a= \frac{1}{2}}\).
Objętość kuli równa się więc \(\displaystyle{ \frac{4 \pi}{3}r^{2} \approx 4,18}\)

Liczę całkę (wzięłam dwa razy bo tam funkcja \(\displaystyle{ z=\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}, z=-\sqrt{1-x^{2}+y^{2}}}\)):
\(\displaystyle{ 2\int_{0}^{2 \pi} \int_{ \frac{1}{2}}^{1} \sqrt{1-r^2}r dr d\varphi \approx 2,72\\}\).

Liczyłam przez podstawienie \(\displaystyle{ \sqrt{1-r^{2}}=t}\).

Tyle mogło by być .

skolukmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 250
Rejestracja: 22 cze 2009, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 5 razy

Objętość fragmentu kuli

Post autor: skolukmar » 11 wrz 2011, o 14:58

U mnie wyszło:
\(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi {(2a)}^3 - \pi a^2 \cdot 2\sqrt3a - 2\pi \int_{0}^{a}x\sqrt{4a^2-x^2}dx = \frac{16}{3} \pi a^3}\)

aniaaa1990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 28 sie 2011, o 16:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1 raz

Objętość fragmentu kuli

Post autor: aniaaa1990 » 11 wrz 2011, o 15:09

\(\displaystyle{ \frac{16}{3} \pi a^{3}=\frac{16}{3} \pi \left( \frac{1}{2} \right) ^{3}\approx 2,09}\)

W sumie też by pasowało...

Już sama nie wiem .
Ostatnio zmieniony 11 wrz 2011, o 18:56 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Objętość fragmentu kuli

Post autor: Chromosom » 11 wrz 2011, o 18:56

Zarówno pierwsza, jak i druga metoda jest poprawna. Wykorzystanie całki potrójnej wymaga jednak mniej obliczeń oraz uzasadnień.

aniaaa1990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 28 sie 2011, o 16:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1 raz

Objętość fragmentu kuli

Post autor: aniaaa1990 » 11 wrz 2011, o 19:06

Całkę podwójną liczyło mi się całkiem prosto i nie musiałam dzielić obszaru na części.

Co masz na myśli mówiąc, że wymaga uzasadnień?
Czy muszę napisać do tego jakiś komentarz na egzaminie czy wszystko ładnie już widać?
Czy muszę coś dodatkowo zakładać?

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Objętość fragmentu kuli

Post autor: Chromosom » 11 wrz 2011, o 19:10

aniaaa1990 pisze:Całkę podwójną liczyło mi się całkiem prosto i nie musiałam dzielić obszaru na części. Co masz na myśli mówiąc, że wymaga uzasadnień?
Całka podwójna jest wynikiem obliczenia całki potrójnej zamienionej na całkę iterowaną. Zastosowanie wzoru na objętość bryły obrotowej jest w tym przypadku bardziej skomplikowane ponieważ wymaga większej ilości obliczeń. Niemniej jednak obie metody są poprawne.
aniaaa1990 pisze:Czy muszę napisać do tego jakiś komentarz na egzaminie czy wszystko ładnie już widać?
Czy muszę coś dodatkowo zakładać?
Wzór na objętość bryły obrotowej obowiązuje dla wszystkich funkcji spełniających odpowiednie założenia regularnościowe, czyli całkowalnych w sensie Riemanna. Jeśli wyprowadzenie mieliście podane podczas ćwiczeń, zapewne nie trzeba go uwzględniać na egzaminie.

aniaaa1990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 28 sie 2011, o 16:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1 raz

Objętość fragmentu kuli

Post autor: aniaaa1990 » 11 wrz 2011, o 19:22

Wzoru na bryłę obrotową?
Nie zastosowałam niczego takiego - po prostu zapisałam funkcję \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4a^{2}}\) jako \(\displaystyle{ z=\sqrt{4a^{2}-x^{2}-y^{2}}, z=-\sqrt{4a^{2}-x^{2}-y^{2}}}\) i następnie podstawiłam do wzoru na współrzędne biegunowe.
Bryła jest symetryczna, to wzięłam \(\displaystyle{ 2\sqrt{4a^{2}-(r \cos \varphi)^{2}-(r \sin \varphi)^{2}}}\) co dało mi funkcję \(\displaystyle{ 2\sqrt{4a^{2}-r^{2}}}\) po której całkowałam.

Czy to dobre rozumowanie?
(Przy okazji poprawiłam błąd)

Ogólnie kiedyś miałam o całkowaniu po "cieniu" bryły ale niestety nie pamiętam a nie mogę znaleźć tego w podręczniku, próbowałam coś w ten deseń.
Ostatnio zmieniony 11 wrz 2011, o 23:06 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: zapis funkcji matematycznych: punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Objętość fragmentu kuli

Post autor: Chromosom » 11 wrz 2011, o 23:08

Wzór na objętość bryły obrotowej został zastosowany w rozwiązaniu przedstawionym przez skolukmar. Twoje rozwiązanie jest poprawne, ale również najbardziej wydajne, co już wcześniej napisałem.

Nie spotkałem się z nazwą całkowanie po cieniu bryły. Być może mówisz o obliczaniu całki funkcji po rzucie bryły na płaszczyznę. Jest to standardowa procedura stosowana podczas obliczania objętości brył.

aniaaa1990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 28 sie 2011, o 16:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1 raz

Objętość fragmentu kuli

Post autor: aniaaa1990 » 11 wrz 2011, o 23:15

Dziękuję za informację .

ODPOWIEDZ