równanie różniczkowe II rzędu

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
bubelka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 25 cze 2011, o 14:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: bubelka » 25 cze 2011, o 14:22

czy mógłby mi jakiś dobry człowiek podpowiedzieć jak rozwiązać to równanie, gdyż sama próbuje od 2 godzin ale nie wychodzi tak jak powinno:)

\(\displaystyle{ y''-y= e^{-x} \sin e^{-x} + \cos e ^{-x}}\)
Ostatnio zmieniony 25 cze 2011, o 20:30 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

lukasz1804
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: lukasz1804 » 25 cze 2011, o 20:46

Najpierw rozważmy równanie jednorodne \(\displaystyle{ y''-y=0}\) i odpowiadające mu równanie charakterystyczne \(\displaystyle{ t^2-1=0}\). Pierwiastkami tego ostatniego są liczby \(\displaystyle{ -1, 1}\) i generują one dwa liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) rozwiązania \(\displaystyle{ \varphi_1(x)=e^{-x}, \varphi_2(x)=e^x}\) równania jednorodnego.
Wystarczy teraz wyznaczyć jedno dowolne rozwiązanie \(\displaystyle{ \varphi_0}\) wyjściowego równania (niejednorodnego). Można tu skorzystać z tzw. metody wariacji (uzmienniania) stałych.
Należy wówczas obliczyć następujące wyznaczniki (tzw. wrońskiany):
\(\displaystyle{ W(x)=\left|\begin{array}{cc} e^{-x} & e^x \\ -e^{-x} & e^x \end{array}\right|, W_1(x)=\left|\begin{array}{cc} 0 & e^x \\ e^{-x}\sin e^{-x}+\cos e^{-x} & e^x \end{array}\right|, W_2(x)=\left|\begin{array}{cc} e^{-x} & 0 \\ -e^{-x} & e^{-x}\sin e^{-x}+\cos e^{-x} \end{array}\right|}\) (w odpowiednich kolumnach \(\displaystyle{ W}\) występują \(\displaystyle{ \varphi_1, \varphi_2}\) i ich pochodne, w \(\displaystyle{ W_1, W_2}\) zastąpiono jedną z kolumn kolumną zawierającą funkcję zerową i prawą stronę danego równania).
Teraz należy obliczyć całki nieoznaczone \(\displaystyle{ c_1(x)=\int\frac{W_1(x)}{W(x)}dx, c_2(x)=\int\frac{W_2(x)}{W(x)}dx}\) (stałe można pominąć).
Mamy \(\displaystyle{ \varphi(x)=c_1(x)\varphi_1(x)+c_2(x)\varphi_2(x)}\).

Ogół rozwiązań równania stanowią funkcje \(\displaystyle{ \varPhi_{C_1, C_2}(x)=\varphi(x)+C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ C_1, C_2}\) są dowolnymi stałymi.

bubelka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 25 cze 2011, o 14:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: bubelka » 25 cze 2011, o 22:14

Dziękuje za podpowiedź, już mi to trochę rozjaśniło sprawę, ale nie wiem za bardzo jak rozwiązać te całki. Czy mógłby ktoś mi wytłumaczyć chociaż jedną?

ODPOWIEDZ