równanie różniczkowe 2 rzędu

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
pavel332
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 7 paź 2008, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pawłowice
Podziękował: 1 raz

równanie różniczkowe 2 rzędu

Post autor: pavel332 » 25 cze 2011, o 13:59

Proszę o sprawdzenie czy dobrze policzyłem bo w odpowiedziach jest inna postać do której też nie potrafię sam przejść i proszę o wytłumaczenie.
\(\displaystyle{ y''+4y'+5y=0}\) spełniające warunki początkowe : y(0)=-3 oraz y'(0)=0

\(\displaystyle{ W(s)= s^{2}+4s+5}\)

\(\displaystyle{ \delta=-4, \sqrt{\delta}= \pm 2i}\)

\(\displaystyle{ S_{1}=-2-i , S_{2}=-2+i}\)

\(\displaystyle{ y_{0}=C_{1}e^{(-2-i)x}+C_{2}e^{(-2+i)x}}\)

\(\displaystyle{ y_{0}(0)=C_{1}+C_{2}=-3}\)

\(\displaystyle{ y'_{0}(0)=C_{1}(-2-i)e^{(-2-i)x}+C_{2}(-2+i)e^{(-2+i)x}=0}\)

\(\displaystyle{ y'_{0}(0)=C_{1}(-2-i)+C_{2}(-2+i)=0}\)

\(\displaystyle{ C_{1}+C_{2}=-3 \Rightarrow C_{1}=-3-C_{2}}\)

\(\displaystyle{ C_{1}(-2-i)+C_{2}(-2+i)=0}\)

\(\displaystyle{ (-3-C_{2})(-2-i)+C_{2}(-2+i)=0}\)

\(\displaystyle{ 6+3i+2C_{2}+C_{2}i-2C_{2}+C_{2}i=0}\)

\(\displaystyle{ 2C_{2}i=-6-3i}\)

\(\displaystyle{ C_{2}=- \frac{3}{2}+3i , C_{1}= - \frac{3}{2}-3i}\)

\(\displaystyle{ y_{0}=- \frac{3}{2}-3ie^{(2-i)x}- \frac{3}{2}+3ie^{(-2+i)x}}\)

tyle mi wychodzi a w odpowiedziach o ile się nie mylę jest rozwiązanie rzeczywiste postaci :

\(\displaystyle{ y=-3e^{-2x}(cosx+2sinx)}\)
tylko nie wiem jak do niego przejść.

Juankm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 14 cze 2011, o 16:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 28 razy

równanie różniczkowe 2 rzędu

Post autor: Juankm » 25 cze 2011, o 14:57

Po pierwsze wkradł Ci się błędzik
\(\displaystyle{ y_{0}=- \frac{3}{2}-3ie^{(\overbrace{2}^{tu}-i)x}- \frac{3}{2}+3ie^{(-2+i)x}}\)

Powinno być
\(\displaystyle{ y_{0}=- \frac{3}{2}-3ie^{(-2-i)x}- \frac{3}{2}+3ie^{(-2+i)x}}\)

Po drugie Twój zapis jest nieczytelny

\(\displaystyle{ y_{0}= \left(-\frac{3}{2}-3i\right)e^{(-2-i)x} + \left(-\frac{3}{2}+3i\right)e^{(-2+i)x}}\)

Po trzecie i po czwarte:
\(\displaystyle{ e^{(-2-i)x}=e^{-2x} \cdot e^{-ix}}\)
i tu skorzystaj z wzoru Eulera:
\(\displaystyle{ e^{ix}=\cos{(x)} + i\sin{(x)}}\)

pavel332
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 7 paź 2008, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pawłowice
Podziękował: 1 raz

równanie różniczkowe 2 rzędu

Post autor: pavel332 » 25 cze 2011, o 15:07

owszem, błędzik wkradł się przy przepisywaniu do LateXa...
Ciesze sie że rozwiązanie jest prawidłowe. A przez nieczytelność rzeczywiście nie wpadłem na Eulera...
dzięki za pomoc

ODPOWIEDZ