Obliczyć całkę/bryła ograniczona powierzchniami

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Souke
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 25 cze 2011, o 11:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Obliczyć całkę/bryła ograniczona powierzchniami

Post autor: Souke » 25 cze 2011, o 12:03

Witam!
Zadanie brzmi: Obliczyć całkę \(\displaystyle{ \iiint_{V}\frac{dxdydz}{ \sqrt{4x^2 + 4y^2 + 3z^2}}}\) gdzie V jest bryłą ograniczona powierzchniami \(\displaystyle{ z=\sqrt{4 - x^2 -y^2}}\) oraz \(\displaystyle{ z=\sqrt{9 - x^2 - y^2}}\), \(\displaystyle{ z=0}\)
Jakbyśmy to narysowali to wychodzą 2 stożki, jeden znajduje się wewnątrz drugiego(chyba ) i rozumiem że trzeba tu zastosować współrzędne walcowe gdzie \(\displaystyle{ 0 \le \varphi \le 2\Pi}\)
\(\displaystyle{ 2 \le r \le 3}\)
\(\displaystyle{ 2 \le z \le 3}\)
Jakobian = r i teraz tak, wstawiamy wsp walcowe i mamy \(\displaystyle{ \sqrt{4x^2 + 4y^2 + 3z^2}=\sqrt{4r^2 cos^2 \varphi + 4r^2 sin^2 \varphi + 3z^2}=\sqrt{4r^2 + 3z^2}}\) czyli nasza całka \(\displaystyle{ \iiint_{V}\frac{dxdydz}{ \sqrt{4x^2 + 4y^2 + 3z^2}}=\int_{0}^{2\Pi}d\varphi \int_{2}^{3}dr\int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{4r^2 +3z^2}}rdz}\) i teraz pytanie czy ja to dobrze robię i jeśli tak to jak to obliczyć???

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Obliczyć całkę/bryła ograniczona powierzchniami

Post autor: pyzol » 25 cze 2011, o 12:38

z jest ograniczone wtedy przez:
\(\displaystyle{ z=\sqrt{4-r^2},z=\sqrt{9-r^2}}\)

Souke
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 25 cze 2011, o 11:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Obliczyć całkę/bryła ograniczona powierzchniami

Post autor: Souke » 25 cze 2011, o 12:47

Aaaa no tak sorry... Ale nadal nie wiem w takim razie jak policzyć całkę \(\displaystyle{ \int_{\sqrt{4-r^2}}^{\sqrt{9-r^2}} \frac{1}{\sqrt{4r^2 +3z^2}}rdz}\)

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Obliczyć całkę/bryła ograniczona powierzchniami

Post autor: pyzol » 25 cze 2011, o 13:52

\(\displaystyle{ r}\) traktujesz jako parametr. Po wyciągnięciu \(\displaystyle{ 4r^2}\) z pierwiastka, otrzymasz:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{2\sqrt{1 +\frac{3z^2}{4r^2}}}dz}\)
teraz podstawienie \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2r}z=t}\) i otrzymujesz, dość znanym problem.
Tutaj możesz właściwe skorzystać z gotowego wzoru. Ostatecznie otrzymasz coś takiego (o ile się nie pomyliłem, a to bardzo możliwe )
\(\displaystyle{ \left. \frac{r}{\sqrt{3}}\ln\left(\frac{\sqrt{3}}{2r}z+\sqrt{\frac{3z^2}{4r^2}+1} \right)\right|_{\sqrt{4-r^2}}^{\sqrt{9-r^2}}}\)
Osobiście próbowałbym z przeskalowanymi współrzędnymi sferycznymi. Ale może coś Ci się jeszcze uda z tego zrobić...

Souke
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 25 cze 2011, o 11:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Obliczyć całkę/bryła ograniczona powierzchniami

Post autor: Souke » 25 cze 2011, o 14:37

A jakby to wyglądało w przeskalowanych współrzędnych sferycznych? Jak je tutaj zastosować? Bo rachunki które wychodzą na walcowych to jakaś masakra i chyba można to szybciej zrobić

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Obliczyć całkę/bryła ograniczona powierzchniami

Post autor: pyzol » 25 cze 2011, o 14:55

\(\displaystyle{ x=\frac{r}{2}\sin\varphi\cos\psi,y=\frac{r}{2}\sin\varphi\sin\psi,z=\frac{r}{\sqrt{3}}\cos\varphi}\)
Jakobian wyjdzie wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{r^2\sin\varphi}{4\sqrt{3}}}\)
No tu zaś możesz mieć większy problem z wyznaczaniem granic, ale to się okaże w praniu.

Edit: było tam kilka błędów drukarskich, teraz powinno być ok.

ODPOWIEDZ