rozwiązanie układu równań z pochodnymi

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Ola964
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 9 cze 2011, o 15:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 2 razy

rozwiązanie układu równań z pochodnymi

Post autor: Ola964 » 24 cze 2011, o 23:17

Jak wyznaczyć \(\displaystyle{ f \text{, } g \text{ i } h}\) mając dany układ równań:
\(\displaystyle{ g'_{x} - f'_{y} = y \sin x \\
h'_{y} - g'_{z} = x \cos z \\
h'_{x} - f'_{z} = y \cos z}\)
Ostatnio zmieniony 25 cze 2011, o 08:07 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Proszę zapoznać się z pkt. 2.7 instrukcji LaTeX'a

octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

rozwiązanie układu równań z pochodnymi

Post autor: octahedron » 27 cze 2011, o 22:14

Nie wiem, co na to mówi teoria, ale pomysł mam taki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} g_{x} - f_{y} =y\sin x\\h_{y} - g_{z} = x\cos z \\h_{x} - f_{z} = y\cos z\end{cases}\\
\begin{cases} g_{xz} - f_{yz} =0\\h_{yx} - g_{zx} = \cos z \\h_{xy} - f_{zy} = \cos z\end{cases}\\}\)

zakładamy ciągłość pochodnych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} g_{xz} - f_{yz} =0\\h_{xy} - g_{xz} = \cos z \\h_{xy} - f_{yz} = \cos z\end{cases}\\
g_{xz} = f_{yz}=C_1(x,y,z)\\
g_{x}=\int C_1(x,y,z)\ dz+C_2(x,y)\\
g(x,y,z)=\int g_{x}\ dx=\iint C_1(x,y,z)\ dzdx+\int C_2(x,y)\ dx +G\\
f(x,y,z)=\int f_{y}\ dy=\int g_{x}-y\sin x\ dy=\int C_1(x,y,z)\ dzdy+\int C_2(x,y)\ dy-\frac{y^2}{2}\sin x+F\\
g_{z}=\int C_1(x,y,z)\ dx\\
h(x,y,z)=\int h_{y}\ dy=\int g_{z}+x\cos z\ dy=\iint C_1(x,y,z)\ dxdy+xy\cos z+H\\}\)

ODPOWIEDZ