suma odwrotności symbolu newtona, równość

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
exupery
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 518
Rejestracja: 21 lut 2007, o 17:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kluczewsko
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 67 razy

suma odwrotności symbolu newtona, równość

Post autor: exupery » 24 cze 2011, o 16:57

wykaż albo obal:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{n+1}{ {n \choose k} k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2 k}{ k{n \choose k} }}\)

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

suma odwrotności symbolu newtona, równość

Post autor: » 24 cze 2011, o 19:26

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{n+1}{ {n \choose k} k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{2 k}{ k{n \choose k} }=
\sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-2k}{ {n \choose k} k}=
\sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-2k}{ {n-1 \choose k-1} n}= \\ =
\frac 12\left( \sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-2k}{ {n-1 \choose k-1} n}+\sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-2(n+1-k)}{ {n-1 \choose (n+1-k)-1} n}\right)= \\ =
\frac 12\left( \sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-2k}{ {n-1 \choose k-1} n}+\sum_{k=1}^{n} \frac{2k-1-n}{ {n-1 \choose n-k} n}\right)= \\ =
\frac 12\left( \sum_{k=1}^{n} \frac{n+1-2k}{ {n-1 \choose k-1} n}+\sum_{k=1}^{n} \frac{2k-1-n}{ {n-1 \choose k-1} n}\right)=0}\)



Q.

ODPOWIEDZ