Zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego

[RAFAELLO14]

Mam ciąg
\(\displaystyle{ f _{n} (x) = nx\sin \frac{x}{n}}\), wiem że jest zbieżny punktowo do funkcji \(\displaystyle{ x ^{2}}\)
Mam sprawdzić zbieżność jednostajną na \(\displaystyle{ \mathbb{R}, \mathbb{R} _{+} , [0, a] a > 0}\)
Pasowałoby w tym celu zbadać supremum
\(\displaystyle{ \left|nx\sin \frac{x}{n} - x ^{2}\right|}\)
ale nie wiem jaki znak ma wyrażenie pod modułem, a nawet gdybym mógł go opuścić to policzenie pochodnej i szukanie miejsc zerowych raczej nie da mi rozwiązania...

[Dasio11]

Gdy \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}_+,}\) to dla dowolnego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) wyrażenie

\(\displaystyle{ \left| nx \sin \frac{x}{n} - x^2 \right| = |xn| \left| \sin \frac{x}{n} - \frac{x}{n} \right|}\)

jest nieograniczone ze względu na \(\displaystyle{ x,}\) bo dla ustalonego \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ x>2n}\) będzie

\(\displaystyle{ |xn| \left| \sin \frac{x}{n} - \frac{x}{n} \right| \ge |x \cdot 1| \left|2-1 \right| = |x|.}\)

To dowodzi, że ciąg nie jest jednostajnie zbieżny na \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+,}\) a co za tym idzie - w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) też nie.
A co z przedziałem \(\displaystyle{ [0, a]?}\)
Tu już \(\displaystyle{ x}\) nie będzie nieograniczony. Spróbuj dowieść, że na tym przedziale ciąg jest jednostajnie zbieżny.