Wektor losowy o rozkładzie Dirichleta

[silvaran]

Niech \(\displaystyle{ (X,Y)}\) będzie wektorem losowym o rozkładzie Dirichleta \(\displaystyle{ D(a,b,c)}\) z gęstością

\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{\Gamma (a+b+c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)\Gamma (c)} x^{a-1} y^{b-1}(1-x-y)^{c-1} \mathbb{I} _{T_2}(x,y)}\)

gdzie \(\displaystyle{ T_2=\left\{ (x,y) \in (0,+\infty ) : x+y<1 \right\}}\)

Znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ U= \frac{X}{X+Y}}\)

Jakieś wskazówki? Próbowałem liczyć najpierw rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Z=X+Y}\) ale ciężka całka wychodzi...

[miodzio1988]

Pokaż jaka ta całka wychodzi. Zadanie z egzaminu co?

[silvaran]

Chce policzyć gęstość tej zmiennej Z.
Więc gęstość sumy to:
\(\displaystyle{ f_Z (z)= \int_{- \infty }^{+ \infty } f(x,z-x) dx = \frac{\Gamma (a+b+c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)\Gamma (c)} (1-z)^{c-1} \int_{0}^{z} x^{a-1}(z-x)^{b-1} dx}\)

Mniej więcej chyba coś takiego. Wydaje mi się, że dobre granice całkowania dobrałem. No i ten wzór będzie prawdziwy dla \(\displaystyle{ z \in [0;1]}\)

--edit--

AAA, teraz można zrobić podstawienie w całce: \(\displaystyle{ x=yz}\), część rzeczy wyskoczy przed całkę, a całka zamieni się na funkcję beta
Czyli gęstość Z to \(\displaystyle{ f_Z (z)=\frac{\Gamma (a+b+c)}{\Gamma (a+b)\Gamma (c)}z^{a+b-1}(1-z)^{c-1} \mathbb{I}_{[0;1]} (z)}\)

No to jak teraz policzyć gęstość U? : )