Dowodzenie dwóch nierówności indukcją mat.

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
strykul
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 27 paź 2010, o 19:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mielec
Podziękował: 5 razy

Dowodzenie dwóch nierówności indukcją mat.

Post autor: strykul » 24 cze 2011, o 11:50

Witajcie, bardzo proszę o wyjaśnienie mi sposobu dowodzenia dwóch poniższych nierówności... w jednym ugrzązłem na samym początku, drugiego zaś nawet nie ruszyłem...

1) "Korzystając z zasady indukcji matematycznej udowodnij, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2 ^{2} } + \frac{1}{3 ^{2}}+ ... + \frac{1}{n ^{2} } <1}\)

dla n\(\displaystyle{ \ge 2}\)

Robię sobie spokojnie, pakuję 2 i mam, że L=0,25 no a P=1 a więc L<P, później podstawiam n=k no i że
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 ^{2} } + \frac{1}{3 ^{2}}+ ... + \frac{1}{k ^{2} } <1}\)

Później chcę obliczyć n=k+1
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 ^{2} } + \frac{1}{3 ^{2}}+ ... + \frac{1}{k ^{2} } + \frac{1}{(k+1) ^{2} } <1}\)

I dalej nie za bardzo mam pomysł... bo jak mam postawić nierówność do nierówności?



Drugie zadanie jest podobne, chodzi mi zasadniczo o załapanie metody z pierwszego
Korzystając z zasady indukcji matematycznej udowodnij, że dla \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{3} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{n} } >{\sqrt{n}}}\)

dla n \(\displaystyle{ \ge}\) 2

Serdecznie dziękuję za każdą formę pomocy

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Dowodzenie dwóch nierówności indukcją mat.

Post autor: pyzol » 24 cze 2011, o 14:43

Jeśli chodzi o pierwsze to dobrze jest znaleźć inne ograniczenie, niż 1.
Ogólnie
\(\displaystyle{ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{k^2} \le \frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}+...+\frac{1}{(k-1)k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+...-\frac{1}{k}=1-\frac{1}{k}}\)
Indukcja tutaj jest niepotrzebna, ale na upartego możesz jakość z takiego ograniczenia korzystać.
Jeśli chodzi o drugie, to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{3} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{k} }+\frac{1}{\sqrt{k+1}} >{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}}\)
Musisz więc wykazać, że:
\(\displaystyle{ {\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}} >\sqrt{k+1}}\)

ODPOWIEDZ