Klasyfikacja równań różniczkowych czątskowych

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Zbychu91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 1 kwie 2011, o 13:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3 razy

Klasyfikacja równań różniczkowych czątskowych

Post autor: Zbychu91 » 24 cze 2011, o 09:22

Chodzi mi o klasyfikacje równań różniczkowych cząstkowych rzędu drugiego. Mianowicie mam równanie o n-zmiennych postaci
\(\displaystyle{ \sum_{i,j=1}^{n} A_{ij}(x)u_{x_i x_j} + \sum_{i=1}^{n} B_i(x) u_x_i + \ldots = 0,}\)
gdzie \(\displaystyle{ x=(x_1, \ldots , x_n).}\)
Teraz mam taką definicje. Wyrażenie \(\displaystyle{ \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}(x_1,\ldots ,x_n) \lambda_i \lambda_j}\) nazywamy formą charakterystyczną powyższego równania.
No i mam problem, co znaczą współczynniki \(\displaystyle{ a_{ij}}\), czy to są współczynniki stojące przy pochodnych cząstkowych rzędu drugiego po sprowadzeniu do postaci kanonicznej?
Następnie
1. Jeżeli forma kwadratowa charakterystyczna równania jest określona dodatnio lub ujemnie, to mówimy, że równanie jest typu eliptycznego.
2. Jeżeli forma jest nieosobliwa i nieokreślona to równanie jest typu hiperbolicznego,
3. Jeżeli jest osobliwa, to równanie jest typu parabolicznego.
Forma jest osobliwa jeśli dla każdego wektora wyznacznik macierzy odpowiadający tej formie jest równy \(\displaystyle{ 0}\)?
Ostatnio zmieniony 24 cze 2011, o 12:20 przez Zbychu91, łącznie zmieniany 3 razy.

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7283
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 944 razy

Klasyfikacja równań różniczkowych czątskowych

Post autor: Kartezjusz » 24 cze 2011, o 11:48

Co to są \(\displaystyle{ \lambda_{i}}\)?

Zbychu91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 1 kwie 2011, o 13:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3 razy

Klasyfikacja równań różniczkowych czątskowych

Post autor: Zbychu91 » 24 cze 2011, o 12:17

Miałem oczywiście błąd w pierwszym poście.
Rozumiem, że ta forma kwadratowa dana jest wzorem \(\displaystyle{ \phi(\lambda,\lambda)=\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \lambda_i \lambda_j}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda = (\lambda_1,\ldots ,\lambda_n)}\).
Problem polega po prostu na tym, że wziąłem to z książki gdzie autor nie tłumaczy oznaczeń za bardzo...

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7283
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 944 razy

Klasyfikacja równań różniczkowych czątskowych

Post autor: Kartezjusz » 24 cze 2011, o 12:25

Czyli masz macierz przekształcenia dwuliniowego \(\displaystyle{ [a_{ij}]}\) i badasz ją pod kryterium Sylwestra...

Zbychu91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 1 kwie 2011, o 13:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3 razy

Klasyfikacja równań różniczkowych czątskowych

Post autor: Zbychu91 » 24 cze 2011, o 12:45

Czyli współczynniki \(\displaystyle{ a_{ij}}\) to są współczynniki uzyskane z pewnego przekształcenia współczynników \(\displaystyle{ A_{ij}}\)?

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7283
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 944 razy

Klasyfikacja równań różniczkowych czątskowych

Post autor: Kartezjusz » 24 cze 2011, o 16:52

Tak,bo forma charakterystyczna jest przekształceniem dwuliniowym...

ODPOWIEDZ