znajdź liczbę c dla której granica ciągu jest równa 2

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
kamiolka28
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 234
Rejestracja: 23 cze 2011, o 10:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: lanckorona
Podziękował: 61 razy

znajdź liczbę c dla której granica ciągu jest równa 2

Post autor: kamiolka28 » 23 cze 2011, o 21:22

Znajdź liczbę \(\displaystyle{ c}\), dla której granica ciągu o wyrazie ogólnym

\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{ 3^{n+c} - 2^{n} }{ \sqrt{ 5^{n} + 9^{n-2c} } }}\)

jest równa \(\displaystyle{ 2}\).
Ostatnio zmieniony 23 cze 2011, o 21:27 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznać się z http://matematyka.pl/178502.htm . Liczne błędy ortograficzne.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23173
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3159 razy

znajdź liczbę c dla której granica ciągu jest równa 2

Post autor: piasek101 » 23 cze 2011, o 21:34

Skrócić przez \(\displaystyle{ 3^n}\).

Waq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 28 sty 2011, o 12:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Web/Lbn
Pomógł: 5 razy

znajdź liczbę c dla której granica ciągu jest równa 2

Post autor: Waq » 24 cze 2011, o 13:13

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{3^{n+c}-2^n}{ \sqrt{5^n+9^{n-2c}} }= \frac{3^n \cdot 3^c-2^n}{ \sqrt{5^n+9^n \cdot 9^{-2c}} }= \frac{3^n(3^c- \frac{2^n}{3^n}) }{ \sqrt{9^n( \frac{5^n}{9^n}+9^{-2c}) } }= \frac{3^n(3^c- \frac{2^n}{3^n})}{ \sqrt{9^n} \cdot \sqrt{ \frac{5^n}{9^n}+9^{-2c} } }= \frac{3^n(3^c- \frac{2^n}{3^n})}{3^n \sqrt{ \frac{5^n}{9^n}+9^{-2c}} }= \frac{3^c- (\frac{2}{3})^n }{ \sqrt{ (\frac{5}{9})^n+9^{-2c} } }}\)
Dalej eliminujesz wyrazy dążące do zera, a jak otrzymasz równanie to pokombinuj.

kamiolka28
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 234
Rejestracja: 23 cze 2011, o 10:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: lanckorona
Podziękował: 61 razy

znajdź liczbę c dla której granica ciągu jest równa 2

Post autor: kamiolka28 » 28 cze 2011, o 19:59

Waq pisze:\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{3^{n+c}-2^n}{ \sqrt{5^n+9^{n-2c}} }= \frac{3^n \cdot 3^c-2^n}{ \sqrt{5^n+9^n \cdot 9^{-2c}} }= \frac{3^n(3^c- \frac{2^n}{3^n}) }{ \sqrt{9^n( \frac{5^n}{9^n}+9^{-2c}) } }= \frac{3^n(3^c- \frac{2^n}{3^n})}{ \sqrt{9^n} \cdot \sqrt{ \frac{5^n}{9^n}+9^{-2c} } }= \frac{3^n(3^c- \frac{2^n}{3^n})}{3^n \sqrt{ \frac{5^n}{9^n}+9^{-2c}} }= \frac{3^c- (\frac{2}{3})^n }{ \sqrt{ (\frac{5}{9})^n+9^{-2c} } }}\)
Dalej eliminujesz wyrazy dążące do zera, a jak otrzymasz równanie to pokombinuj.
jeżeli ja odrzucę tutaj ułamki dążące do 0
to zostanie mi:
\(\displaystyle{ \frac{3 ^{c} }{ \sqrt{9 ^{-2c} } } = 3 ^{3c}}\) jeżeli dobrze policzyłam. no ale jak ma to do 2 zmierzać??

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9326
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2040 razy

znajdź liczbę c dla której granica ciągu jest równa 2

Post autor: Dasio11 » 28 cze 2011, o 20:45

\(\displaystyle{ 3^{3c}}\) jest granicą ciągu \(\displaystyle{ a_n.}\) W takim razie,

\(\displaystyle{ a_n \to 2 \Leftrightarrow 3^{3c} = 2}\)

kamiolka28
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 234
Rejestracja: 23 cze 2011, o 10:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: lanckorona
Podziękował: 61 razy

znajdź liczbę c dla której granica ciągu jest równa 2

Post autor: kamiolka28 » 29 cze 2011, o 12:06

Dasio11 pisze:\(\displaystyle{ 3^{3c}}\) jest granicą ciągu \(\displaystyle{ a_n.}\) W takim razie,

\(\displaystyle{ a_n \to 2 \Leftrightarrow 3^{3c} = 2}\)
tak to wiem.
ale nie mam pojęcia jak z tego to C wyznaczyć;/

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9326
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2040 razy

znajdź liczbę c dla której granica ciągu jest równa 2

Post autor: Dasio11 » 29 cze 2011, o 12:07

No, normalnie. :]

\(\displaystyle{ 3^{3c}=2 \\
3c = \log_3 2 \\ \\
c= \frac{\log_3 2}{3}}\)

ODPOWIEDZ