niezmienniki topologiczne i nie tylko

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
berry88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 23 cze 2011, o 20:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań

niezmienniki topologiczne i nie tylko

Post autor: berry88 » 23 cze 2011, o 20:29

Cześć!
Mam kilka problemów. Jeśli wiecie, jak je rozwiązać albo gdzie znaleźć rozwiązanie - napiszcie proszę.

1. Udowodnić, że zwartość i lokalna zwartość są niezmiennikami topologicznymi.
2. Udowodnić, że spójność i łukowa spójność są niezmiennikami topologicznymi.
3. Udowodnić, że spójność i łukowa spójność są niezmiennikami homotopijnymi.
4. Udowodnić, że na sferze 3-wymiarowej istnieje nigdzie nie znikające pole wektorowe.
5. Udowodnić za pomocą grupy podstawowej, że iloczyn kartezjański sfer 1-wymiarowej i 2-wymiarowe nie jest homeomorficzny z torusem 3-wymiarowym.
6. Udowodnić za pomocą grupy podstawowej, że dwie orientowalne powierzchnie spójne i zamknięte o różnym genusie nie są ze sobą homeomorficzne.
7. Udowodnić, że na sferze 2-wymiarowej istnieje nigdzie nie znikające pole wektorowe.

Przejrzałam bibliotekę wzdłuż i wszerz oraz internet - bez skutku.

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

niezmienniki topologiczne i nie tylko

Post autor: Wasilewski » 23 cze 2011, o 23:53

4) Można wziąć na przykład takie pole: \(\displaystyle{ S^{3} \ni (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \mapsto (-x_{2},x_{1},-x_{4},x_{3})}\).
5) Po prostu policz grupy podstawowe tych przestrzeni, korzystając z tego, że produktowi przestrzeni odpowiada produkt grup.
6) Przedstaw taki wieloprecel jako wielokąt z odpowiednio posklejanymi krawędziami i policz grupę podstawową, korzystając z twierdzenia van Kampena. Potem stwierdź, że otrzymane grupy nie są izomorficzne (albo prościej, że nie są izomorficzne po abelianizacji).
7) Tu chodzi o to, że nie istnieje takie pole. Skorzystaj z tego, że odwzorowanie antypodyczne (\(\displaystyle{ x\mapsto -x}\)) indukuje mnożenie przez \(\displaystyle{ -1}\) na drugiej grupie homologii sfery dwuwymiarowej, tego, że odwzorowania homotopijne indukują takie same przekształcenia na homologiach oraz z następującego faktu:
Odwzorowanie sfery w siebie bez punktów stałych jest homotopijne z odwzorowaniem antypodycznym, natomiast przekształcenie, które nie przeprowadza żadnego punktu na antypodyczny jest homotopijne z identycznością.

berry88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 23 cze 2011, o 20:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań

niezmienniki topologiczne i nie tylko

Post autor: berry88 » 24 cze 2011, o 10:28

Dziękuję,
a mógłbyś rozwinąć 4 i 5?
W Polskiej literaturze nie znalazłam niczego takiego, jak nie znikające pole wektorowe. Po angielsku owszem, ale język specjalistyczny jest pewną barierą.

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

niezmienniki topologiczne i nie tylko

Post autor: Wasilewski » 24 cze 2011, o 11:41

Jeśli chodzi o czwarte, to ta nazwa sama mówi o sobie wszystko: w każdym punkcie rozmaitości zaczepiasz wektor styczny (i chcemy, żeby ten wektor zależał w sposób ciągły od punktu) i pytasz, czy da się to zrobić tak, by w każdym punkcie ten wektor był niezerowy.
W piątym policz po prostu \(\displaystyle{ \pi_{1}(S^{1})}\) oraz \(\displaystyle{ \pi_{1}(S^{2})}\) i wykorzystaj te wyniki do obliczenia \(\displaystyle{ \pi_{1}(S^{1}\times S^{2})}\) i \(\displaystyle{ \pi_{1}(S^{1}\times S^{1} \times S^{1})}\).

ODPOWIEDZ