Całka podwójna po trójkącie

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Robredo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 23 cze 2011, o 17:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Całka podwójna po trójkącie

Post autor: Robredo » 23 cze 2011, o 17:14

Witam!
Mam obliczyć całkę podwójną \(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} (2x+1)dxdy}\), gdzie obszarem całkowania jest trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ A(-1,1), B(1,1), C(0,0)}\).

Moje pytanie brzmi, jak można obliczyć całkę podwójną z funkcji jednej zmiennej? Nawet nie za bardzo potrafię sobie tej płaszczyzny wyobrazić. Pozdrawiam!
Ostatnio zmieniony 23 cze 2011, o 17:18 przez , łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Wszystkie wyrażenia matematyczne zamieszczaj w klamrach [latex]...[/latex]

Awatar użytkownika
Natasha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 986
Rejestracja: 9 lis 2008, o 15:08
Płeć: Kobieta
Podziękował: 97 razy
Pomógł: 167 razy

Całka podwójna po trójkącie

Post autor: Natasha » 23 cze 2011, o 17:25

Narysuj ten obszar i opisz odpowiednio. Podpowiem, że trzeba podzielić ten trójkąt na dwa mniejsze.

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Całka podwójna po trójkącie

Post autor: » 23 cze 2011, o 17:28

Funkcja podcałkowa czyli \(\displaystyle{ f(x,y)=2x+1}\) jest funkcją dwóch zmiennych, tylko jest funkcją stałą ze względu na drugą zmienną. Całkę liczy się jak zawsze - obszar całkowania zapisujemy:
\(\displaystyle{ |x|\le y\le 1\\ -1\le x \le 1}\)
i stąd nasza całka jest równa:
\(\displaystyle{ \int_{-1}^1\left( \int_{|x|}^{1} (2x+1) dy\right) dx}\)

A sam wykres funkcji podcałkowej to "pochyła" płaszczyzna równoległa do osi \(\displaystyle{ OY}\).

Q.

ODPOWIEDZ