Zbieżność całki niewłaściwej

[porucznik]

Witam, z czego należy korzystać przy badaniu zbieżności całki niewłaściwej \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} sin \left( x + \frac{1}{x} \right)}\) ?

[Juankm]

Po prostu sinus jest na tym skończonym przedziale ograniczony. Żeby było totalnie poprawnie to musisz się powołać na:
1) zbieżność bezwględną tej całki, co otrzymasz poprzez:
2) ograniczenie modułu sinusa przez jedynkę(kryterium porównawcze).

[porucznik]

Dziękuję za odpowiedź. Jednak kombinowałem coś samodzielnie, chciałbym spytać się czy jest to poprawnie rozwiązane:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \sin \left(x + \frac{1}{x} \right) \mbox{d}x = - \int_{\infty}^{1} \sin \left( \frac{1}{t} + t \right) \cdot t^{2} \mbox{d}t= \int_{1}^{\infty} \sin \left( \frac{1}{t} + t \right) \cdot t^{2} \mbox{d}t}\)

Teraz przyjmując do kryt. ilorazowego jako \(\displaystyle{ f(t)}\) funkcję podcałkową i \(\displaystyle{ g(t)=t^{2} \cdot \left( \frac{1}{t} + t \right)}\), to \(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} \frac{f(t)}{g(t)} = 1 \in (0, \infty)}\)

Teraz przy sprawdzaniu zbieżności całki \(\displaystyle{ \int_{1}^{\infty} g(t) dt}\) wychodzi rozbiezność, czyli na mocy kryt. ilorazowego mamy rozbieżność całki wyjściowej.

Pozdrawiam.

[luka52]

porucznik, nie jest, gdyż \(\displaystyle{ f}\) zmienia znak (i to wielokrotnie), więc nie są spełnione założenia kryt. ilorazowego.

[porucznik]

Racja, dziękuję.