Zbieżność całki niewłaściwej

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
porucznik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 214
Rejestracja: 18 lis 2010, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 13 razy

Zbieżność całki niewłaściwej

Post autor: porucznik » 23 cze 2011, o 16:49

Witam, z czego należy korzystać przy badaniu zbieżności całki niewłaściwej \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} sin \left( x + \frac{1}{x} \right)}\) ?
Ostatnio zmieniony 23 cze 2011, o 18:17 przez Althorion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.

Juankm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 14 cze 2011, o 16:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 28 razy

Zbieżność całki niewłaściwej

Post autor: Juankm » 23 cze 2011, o 17:29

Po prostu sinus jest na tym skończonym przedziale ograniczony. Żeby było totalnie poprawnie to musisz się powołać na:
1) zbieżność bezwględną tej całki, co otrzymasz poprzez:
2) ograniczenie modułu sinusa przez jedynkę(kryterium porównawcze).

Awatar użytkownika
porucznik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 214
Rejestracja: 18 lis 2010, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 13 razy

Zbieżność całki niewłaściwej

Post autor: porucznik » 25 cze 2011, o 18:24

Dziękuję za odpowiedź. Jednak kombinowałem coś samodzielnie, chciałbym spytać się czy jest to poprawnie rozwiązane:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \sin \left(x + \frac{1}{x} \right) \mbox{d}x = - \int_{\infty}^{1} \sin \left( \frac{1}{t} + t \right) \cdot t^{2} \mbox{d}t= \int_{1}^{\infty} \sin \left( \frac{1}{t} + t \right) \cdot t^{2} \mbox{d}t}\)

Teraz przyjmując do kryt. ilorazowego jako \(\displaystyle{ f(t)}\) funkcję podcałkową i \(\displaystyle{ g(t)=t^{2} \cdot \left( \frac{1}{t} + t \right)}\), to \(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} \frac{f(t)}{g(t)} = 1 \in (0, \infty)}\)

Teraz przy sprawdzaniu zbieżności całki \(\displaystyle{ \int_{1}^{\infty} g(t) dt}\) wychodzi rozbiezność, czyli na mocy kryt. ilorazowego mamy rozbieżność całki wyjściowej.

Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 25 cze 2011, o 22:02 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Sinus w LaTeX-u to \sin.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Zbieżność całki niewłaściwej

Post autor: luka52 » 25 cze 2011, o 18:36

porucznik, nie jest, gdyż \(\displaystyle{ f}\) zmienia znak (i to wielokrotnie), więc nie są spełnione założenia kryt. ilorazowego.

Awatar użytkownika
porucznik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 214
Rejestracja: 18 lis 2010, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 13 razy

Zbieżność całki niewłaściwej

Post autor: porucznik » 25 cze 2011, o 18:55

Racja, dziękuję.

ODPOWIEDZ