Znajdz rozwiązanie szczególne

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
LastSeeds
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 346
Rejestracja: 17 cze 2008, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 17 razy

Znajdz rozwiązanie szczególne

Post autor: LastSeeds » 23 cze 2011, o 15:06

\(\displaystyle{ y'+y=0 \\
y(0)=1,y(0)=-1}\)
Ostatnio zmieniony 23 cze 2011, o 15:23 przez , łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Wszystkie wyrażenia matematyczne zamieszczaj w klamrach [latex]...[/latex]

Juankm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 14 cze 2011, o 16:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 28 razy

Znajdz rozwiązanie szczególne

Post autor: Juankm » 23 cze 2011, o 18:11

Szanowny Kolego,
odpowiedź na to pytanie jest prosta, o ile pozwolisz mi manipulować oznaczeniami różniczkowymi Leibniza jak zwykłymi symbolami. Ma to swój głębszy sens, natomiast, jeśli chcesz tylko wiedzieć jak to zrobić to proszę:
1) Najpierw znajdziemy rozwiązanie ogólne równania:
\(\displaystyle{ y'+y=0 \\}\)
w ten oto sposób:
\(\displaystyle{ y'=-y \\ \\
\frac{dy}{dx}=-y \\ \\
\frac{dy}{y}=-dx \\}\)

Teraz musimy to odcałkować stronami:
\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{y}=\int -dx \\ \\
\ln|y|=-x + C \\}\)

gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest stałą, podnosimy \(\displaystyle{ e}\) do potęgi stronami, uzyskując:
\(\displaystyle{ |y|=e^{-x+C}}\)
Teraz, żeby była jasność, że ten moduł jest nieistotny w ogólnych rozważaniach rozpiszę to tak:
\(\displaystyle{ |y|=e^{-x}\cdot e^{C}\\ \\
|y|=e^{-x}\cdot C\prime\\ \\
y=e^{-x} \cdot C\prime \prime}\)
,
znak \(\displaystyle{ y}\) mieści się teraz w znaku stałej \(\displaystyle{ C\prime \prime}\), którą obliczymy z warunków początkowych, które podałeś: \(\displaystyle{ y(0)=1,y(0)=-1}\),
zatem otrzymamy dwa różne rozwiązania wartości stałej \(\displaystyle{ C\prime \prime}\):
\(\displaystyle{ 1=C_{1}\prime \prime \\ -1= C_{2}\prime \prime}\)
równoważne odpowiednio rozwiązaniom szczególnym naszego równania z warunkami początkowymi:
\(\displaystyle{ y_{1}=e^{-x} \\ y_{2}=-e^{-x}}\).

ODPOWIEDZ