Najwieksza i najmniejsza wartosc funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
cienia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 1 lut 2011, o 19:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Najwieksza i najmniejsza wartosc funkcji

Post autor: cienia » 23 cze 2011, o 12:53

Siema! Mam znalezc najwieksza i najmniejsza wartosc funkcji: \(\displaystyle{ f(x,y)=xy-x(x+1)-y(y+1)}\)
na obszarze : \(\displaystyle{ -4 \le x \le 0 \wedge -x-4 \le y \le 0}\)
Wychodzi mi cos takiego:
najpierw licze pochodna z funkcji po x i po y, przystawiam do 0 i wychodzi mi, ze
\(\displaystyle{ x=-1}\)
\(\displaystyle{ y=-1}\)
podstawiam pod funkcje te 2 punkty i wychodzi mi,ze \(\displaystyle{ f(x,y)=1}\)
i teraz robie tak :
1. \(\displaystyle{ y=-x-4}\)
podstawiam to pod glowna funkcje i wychodzi mi : \(\displaystyle{ f(x)=-3 x^{2}-12x-12}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=-6x-12}\)
czyli \(\displaystyle{ x=-2}\)
\(\displaystyle{ y=-2}\)
teraz podstawiam pare punktow pod glowna funkcje:
\(\displaystyle{ f(-2,-2)=0}\)

2.
\(\displaystyle{ x=-4}\)
podstawiam pod glowna funkcje i licze pochodna po y:
\(\displaystyle{ f'(y)=-4-2y-1}\)
\(\displaystyle{ y=- \frac{5}{2}}\)
\(\displaystyle{ f(-4, -\frac{5}{2})=- \frac{23}{4}}\)

3.
\(\displaystyle{ x=0}\)
\(\displaystyle{ f(0, \frac{1}{2})=- \frac{1}{4}}\)

Czy do tej pory wszystko jest dobrze? Wiem, ze teraz bede musial podstawiac wierzcholki trojkata tylko nie wiem czy mam po prostu podstawic po glowna funkcje czy jak?

-- 23 cze 2011, o 14:22 --

sprawdzi ktos?

-- 23 cze 2011, o 15:26 --

prosze jeszcze o sprawdzenie rozwiazania tego zadania...-- 23 cze 2011, o 15:27 --?

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Najwieksza i najmniejsza wartosc funkcji

Post autor: Crizz » 23 cze 2011, o 22:02

A po co podstawiać samo \(\displaystyle{ x=-4}\)? Przecież jedynym punktem, który nas interesuje, o takiej iksowej współrzędnej, jest wierzchołek trójkąta, czyli \(\displaystyle{ (-4,0)}\).

Skad wzięło się \(\displaystyle{ f \left( 0,\frac12 \right)}\)? Przecież dla \(\displaystyle{ x=0}\) mamy z drugiego warunku ograniczenie \(\displaystyle{ -4 \le y \le 0}\), zatem \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}}\) nas nie interesuje.

Musisz raczej podstawić teraz pozostałe boki trójkąta, czyli rozważyć warunki \(\displaystyle{ y=0}\) oraz \(\displaystyle{ x=0}\) (i policzyć pochodne po drugiej ze współrzędnych).

cienia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 1 lut 2011, o 19:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Najwieksza i najmniejsza wartosc funkcji

Post autor: cienia » 24 cze 2011, o 16:10

Siemanko! Zastosowalem sie do wskazowek Crizza i mi wyszlo, ze najmniejsza wartosc, funkcja osiaga w punkcie (-4,0) i (0,-4) i jest to -12, a najwieksza w punkcie (-1,-1) i jest to 1.
Jak ktos ma chwile czasu to prosze o sprawdzenie...
Dzieki.

ODPOWIEDZ