postać kanoniczna elipsy obróconej o kąt

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
brzozo86
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 27 sty 2007, o 12:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wrocław
Podziękował: 2 razy

postać kanoniczna elipsy obróconej o kąt

Post autor: brzozo86 » 23 cze 2011, o 12:21

Witam
znalazłem taką stronę http://arkadiusz.jadczyk.salon24.pl/667 ... h-rownania
i jest tam przejście z postaci parametrycznej na kanoniczną jednak jest tylko gotowy wzór po przekształceniu a nie jest napisane jak to zostało zrobione, czy ktoś mógłby mi powiedzieć jak się przechodzi do równania kanonicznego postaci


\(\displaystyle{ Ax ^{2}+2Bxy+Cy ^{2}=1}\)


Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 23 cze 2011, o 12:24 przez brzozo86, łącznie zmieniany 1 raz.

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

postać kanoniczna elipsy obróconej o kąt

Post autor: Rogal » 23 cze 2011, o 12:24

Popraw kwadraty.
Jak na moje oko, to przechodzi się tak:
\(\displaystyle{ Ax^{2} + 2Bxy + Cy^{2} = A \left(x + \frac{B}{A}y \right)^{2} + \left( C - \frac{B^{2}}{A^{2}} \right)y^{2} = 1}\)

brzozo86
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 27 sty 2007, o 12:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wrocław
Podziękował: 2 razy

postać kanoniczna elipsy obróconej o kąt

Post autor: brzozo86 » 23 cze 2011, o 12:30

chodzi o to jak z parametrycznego równania otrzymać taką postać. Taką chciałbym otrzymać jak napisałem wyżej.
Z postaci
\(\displaystyle{ x = a cos( \alpha )}\)
\(\displaystyle{ y = b sin( \alpha )}\)

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

postać kanoniczna elipsy obróconej o kąt

Post autor: Rogal » 23 cze 2011, o 12:57

No dokładnie odwrotnie, czyli Twoja nowa po obrocie miałaby równanie:
\(\displaystyle{ x_{o} = sx + ty \\ y_{o} = ux + vy}\)
I teraz z równania \(\displaystyle{ Ax_{o}^{2} + 2Bx_{o}y_{o} + Cy_{o}^{2} = 1}\) i pamiętając o równości \(\displaystyle{ \left( \frac{x}{a} \right)^{2} + \left( \frac{y}{b} \right)^{2} = 1}\) wyznaczysz parametry obrotu, czyli \(\displaystyle{ s, t, u, v}\).

brzozo86
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 27 sty 2007, o 12:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wrocław
Podziękował: 2 razy

postać kanoniczna elipsy obróconej o kąt

Post autor: brzozo86 » 23 cze 2011, o 14:30

jak te parametry obrotu mają się do współczynników A,B,C bo dalej nie wiem jak je wyliczyć

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

postać kanoniczna elipsy obróconej o kąt

Post autor: Rogal » 23 cze 2011, o 15:44

Skoro chodzi Ci o obrót o kąt \(\displaystyle{ \phi}\), to można to znacznie łatwiej zapisać, dzięki wzorom na obrót wokół środka układu współrzędnych (a Twoja elipsa oryginalna jest tak wyśrodkowana):
\(\displaystyle{ x_{o} = x \cos \phi - y \sin \phi \\ y_{o} = x \sin \phi + y \cos \phi}\)
Wtedy wstawiamy to do równania i mamy:
\(\displaystyle{ Ax_{o}^{2} + 2Bx_{o}y_{o} + Cy_{o}^{2} = 1 \\
A (x \cos \phi - y \sin \phi)^{2} + 2B (x \cos \phi - y \sin \phi) (x \sin \phi + y \cos \phi) + C(x \sin \phi + y \cos \phi)^{2} = 1 \\
(A \cos^{2} \phi + 2B \sin \phi \cos \phi + C \sin^{2} \phi)x^{2} + (A \sin^{2} \phi - 2B \sin \phi \cos \phi + C \cos^{2} \phi)y^{2} + (-2A \sin \phi \cos \phi + 2B(\cos^{2} \phi - \sin^{2} \phi) + 2C\sin \phi \cos \phi)xy = 1 = \left( \frac{x}{a} \right)^{2} + \left( \frac{y}{b} \right)^{2} \\
\begin{cases} A \cos^{2} \phi + C \sin^{2} \phi + B \sin 2 \phi = \frac{1}{a^{2}} \\
A \sin^{2} \phi + C \cos^{2} \phi - B \sin 2 \phi = \frac{1}{b^{2}} \\
(C-A) \sin 2 \phi + 2B \cos 2 \phi = 0 \end{cases}}\)

Po dodaniu i odjęciu dwóch pierwszych równań od siebie otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A + C = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{(ab)^{2}} \\
2B \sin 2 \phi = \frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} = \frac{b^{2} - a^{2}}{(ab)^{2}} \\
(C - A) \sin 2 \phi + 2B \cos 2 \phi = 0 \end{cases}}\)

Wstawiamy wyliczone B do trzeciego równania i otrzymujemy układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A + C = \frac{a^{2} + b^{2}}{(ab)^{2}} \\
A - C = \frac{b^{2} - a^{2}}{(ab)^{2}} \frac{\cos 2 \phi}{\sin^{2} 2 \phi} \end{cases}}\)

I stąd już łatwo widać ostateczne wzory na A, B, C.

ODPOWIEDZ