Strona 1 z 1
Czworokąt o najwiekszym polu
: 23 cze 2011, o 00:06
autor: adambak
Mam taki problem: dane są cztery liczby \(\displaystyle{ a, \ b, \ c, \ d}\). Załóżmy, że z boków o tych długościach, da się skonstruować czworokąt. Jakie będzie pole największego takiego czworokąta?
Ja strzeliłem, że musi to być czworokąt na którym da się opisać okrąg. Wygląda na to że dobrze.. No, a wtedy wzór Brahmagupty i po sprawie.. Ale czy uzasadnienie tego jest proste? Nie potrafię tego zrobić i nie wiem czy to moja głupota, zaćmienie umysłu o tej porze, czy po prostu nie jest to takie oczywiste?
Czworokąt o najwiekszym polu
: 23 cze 2011, o 11:58
autor: silicium2002
Skoro rzucasz już ostrym narzędziem pt. wzór Brahmagupty - to wiedz, że właściwie nie tyczy się tylko czworokątów opisanych na okręgu. Wzór jest prawdziwy dla dowolnych czworokątów - przy czym należy odjąć jeszcze pod wyrażeniem podpierwiastkowym iloczyn wszystkich boków i cosinusa połowy sumy dwóch przeciwległych kątów. No i łatwo zauważyć że pole będzie największe kiedy ten iloczyn będzie najmniejszy więc kiedy \(\displaystyle{ cos \alpha = 0}\) no a to zachodzi dla kąta\(\displaystyle{ 90}\) Czyli suma przeciwległych kątów jest 180 -> czyli czworokąt opisany na okręgu.
Czworokąt o najwiekszym polu
: 23 cze 2011, o 14:46
autor: adambak
uchh.. no to troszkę dałem plamę.. racja, super wytłumaczone, dzięki
Czworokąt o najwiekszym polu
: 23 cze 2011, o 14:57
autor: aniu_ta
silicium2002, czyli czworokąt wpisany w okrąg, a nie opisany na okręgu.
Czworokąt o najwiekszym polu
: 23 cze 2011, o 15:42
autor: adambak
oj, wiadomo o co chodzi przecież..
Czworokąt o najwiekszym polu
: 23 cze 2011, o 16:39
autor: silicium2002
adambak pisze:uchh.. no to troszkę dałem plamę.. racja, super wytłumaczone, dzięki
Tak tak oczywiście
Re: Czworokąt o najwiekszym polu
: 6 sty 2024, o 17:08
autor: Jacek_Karwatka
silicium2002 pisze: 23 cze 2011, o 11:58
Skoro rzucasz już ostrym narzędziem pt. wzór Brahmagupty - to wiedz, że właściwie nie tyczy się tylko czworokątów opisanych na okręgu. Wzór jest prawdziwy dla dowolnych czworokątów - przy czym należy odjąć jeszcze pod wyrażeniem podpierwiastkowym iloczyn wszystkich boków i cosinusa połowy sumy dwóch przeciwległych kątów. No i łatwo zauważyć że pole będzie największe kiedy ten iloczyn będzie najmniejszy więc kiedy
\(\displaystyle{ cos \alpha = 0}\) no a to zachodzi dla kąta
\(\displaystyle{ 90}\) Czyli suma przeciwległych kątów jest 180 -> czyli czworokąt opisany na okręgu.
Jedna uwaga: przy czym należy odjąć jeszcze pod wyrażeniem podpierwiastkowym iloczyn wszystkich boków i
kwadrat cosinusa połowy sumy dwóch przeciwległych kątów.