Dzielniki zera

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
justyska0809
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 48
Rejestracja: 17 lut 2009, o 18:53
Płeć: Kobieta
Podziękował: 9 razy

Dzielniki zera

Post autor: justyska0809 » 22 cze 2011, o 22:24

Niech \(\displaystyle{ Z\left[ \sqrt{5} \right] =\left\{ a+b \sqrt{5}:a,b \in Z \right\}}\). Sprawdź, czy istnieją dzielniki zera w pierścieniu:\(\displaystyle{ \left( Z\left[ \sqrt{5} \right],+,* \right)}\)

nowheredense_man
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 169
Rejestracja: 27 wrz 2010, o 11:45
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 26 razy

Dzielniki zera

Post autor: nowheredense_man » 22 cze 2011, o 23:07

gdyby istniały do byłoby \(\displaystyle{ (a+b \sqrt{5})(c+d \sqrt{5})=0}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b,c,d\in\mathbb{Z}}\). Wtedy mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
ac+5bd=0\\
ad+bc=0
\end{cases}}\)

i wydaje mi się, że poza rozwiązaniem \(\displaystyle{ a=b=c=d=0}\) nie ma on innych rozwiązań, czyli, że jest do pierścień bez dzielników zera.

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Dzielniki zera

Post autor: pyzol » 22 cze 2011, o 23:24

nowheredense_man pisze: i wydaje mi się, że poza rozwiązaniem \(\displaystyle{ a=b=c=d=0}\) nie ma on innych rozwiązań, czyli, że jest do pierścień bez dzielników zera.
Wystarczy, że \(\displaystyle{ a=b=0 \vee c=d=0}\)

ODPOWIEDZ