grupa abelowa

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
justyska0809
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 48
Rejestracja: 17 lut 2009, o 18:53
Płeć: Kobieta
Podziękował: 9 razy

grupa abelowa

Post autor: justyska0809 » 22 cze 2011, o 22:00

Niech dana będzie grupa \(\displaystyle{ (G,*)}\) z elementem neutralnym \(\displaystyle{ e}\). Wykazać, że jeśli dla dowolnego elementu \(\displaystyle{ a \in G}\) zachodzi równość: \(\displaystyle{ a*a=e}\), wtedy grupa \(\displaystyle{ G}\) jest abelowa.
Ostatnio zmieniony 22 cze 2011, o 22:03 przez , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Wszystkie wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

grupa abelowa

Post autor: Lorek » 22 cze 2011, o 22:15

Przy tym warunku w szczególności mamy \(\displaystyle{ (a*b)*(a*b)=e}\) dla \(\displaystyle{ a,b\in G}\), a z tego łatwo otrzymać tezę.

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

grupa abelowa

Post autor: pyzol » 22 cze 2011, o 22:17

\(\displaystyle{ (a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=e}\)
Wynika z tego, że elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ a*b}\) jest \(\displaystyle{ b*a}\).
Z założenia elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ a*b}\) jest \(\displaystyle{ a*b}\).
Więc:
\(\displaystyle{ a*b=b*a}\)

ODPOWIEDZ