Problem z ekstremum

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
kbzium
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 76
Rejestracja: 5 maja 2011, o 22:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 18 razy

Problem z ekstremum

Post autor: kbzium » 22 cze 2011, o 21:25

Myślę, że jak to zrozumiem, to dam sobie radę z większością zadań. Trzeba obliczyć ekstrema

\(\displaystyle{ 1- \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)

No i liczę.

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} = - \frac{x}{ \sqrt{x ^{2}+y^{2} }} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} = - \frac{y}{ \sqrt{x ^{2}+y^{2} }}}\)

czyli punktem stacjonarnym jest (0,0). Trzeba policzyć drugie pochodne cząstkowe. I tu jest problem. Mianowicie:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} = - \frac{y^{2}}{\left( x^{2}+y^{2}\right)^{ \frac{3}{2} }}}\)

lub, jako że to nie wychodzi to z definicji:

\(\displaystyle{ - \lim_{ h\to 0 } \frac{ \frac{h}{\sqrt{h^{2}}}}{h} = \frac{1}{|h|}}\) czyli problem...

a odpowiedź z książki - istnieje i ma się dobrze.

Co zrobić?

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Problem z ekstremum

Post autor: » 22 cze 2011, o 21:59

Wbrew temu co napisałeś, punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\) nie jest punktem w którym zerują się obie pochodne cząstkowe, bowiem ten punkt nie należy do dziedziny żadnej z tych pochodnych. Możemy stąd wywnioskować tyle, że poza \(\displaystyle{ (0,0)}\) na pewno nie ma ekstremum (bo tam pochodne cząstkowe istnieją i nie są jednocześnie równe zero), a w \(\displaystyle{ (0,0)}\) należy sprawdzić osobno.

Nietrudno zauważyć, że dla dowolnego \(\displaystyle{ (x,y)}\) jest:
\(\displaystyle{ f(x,y)\le f(0,0)}\) (przy czym równość zachodzi tylko w \(\displaystyle{ (0,0)}\))
co z definicji o oznacza, że w \(\displaystyle{ (0,0)}\) jest ekstremum lokalne (a nawet globalne).

Q.

Awatar użytkownika
kristoffwp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 687
Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 88 razy

Problem z ekstremum

Post autor: kristoffwp » 22 cze 2011, o 21:59

Pochodne cząstkowe w (0,0) nie istnieją. Zobacz, co się dzieje z mianownikiem.
"Pamiętaj cholero....."
Jaki z tego wniosek? Fakt, że funkcja nie jest w zerze różniczkowalna, nie przesądza o braku ekstremum. Zwróć uwagę, że istnienie ekstremum w zerze w oczywisty sposób wynika z definicji. Przecież w dowolnym sąsiedztwie (0,0) \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^{2}} >0}\). A w (0,0) mamy wartość równą zero. Z tego wynika, że jeżeli \(\displaystyle{ f(x,y)=1- \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\), to
\(\displaystyle{ \forall_{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\setminus (0,0)}f(x,y)<1}\) i \(\displaystyle{ f(0,0)=1}\)
To oznacza, że w zerze jest maksimum lokalne, a nawet globalne.

kbzium
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 76
Rejestracja: 5 maja 2011, o 22:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 18 razy

Problem z ekstremum

Post autor: kbzium » 22 cze 2011, o 23:23

Nie pomyślałem o tym, że po prostu tam jest szpic . Dzięki za pomoc panowie! Przychodzą wam jeszcze na myśl inne "haczyki" odnośnie tego typu zadań? W sobotę mam egzamin z analizy.

ODPOWIEDZ