Oblicz całkę nieoznaczoną

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
drooone
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 27 paź 2010, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 10 razy

Oblicz całkę nieoznaczoną

Post autor: drooone » 22 cze 2011, o 20:17

Witam robie sobie mała powtórke i mam pytanie
jakim sposobem liczy sie tego typu calki:

\(\displaystyle{ \int \frac{ \mbox{d}x }{x^{3}+x}}\)

z gory dzieki
Ostatnio zmieniony 22 cze 2011, o 20:21 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Lepiej wygląda: \mbox{d}x

Lbubsazob
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4669
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 124 razy
Pomógł: 978 razy

Oblicz całkę nieoznaczoną

Post autor: Lbubsazob » 22 cze 2011, o 20:20

Rozłóż na ułamki proste.

drooone
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 27 paź 2010, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 10 razy

Oblicz całkę nieoznaczoną

Post autor: drooone » 22 cze 2011, o 20:34

Mówisz o czymś takim?

\(\displaystyle{ \int \left( \frac{1}{x} - \frac{x}{x^{2}-1} \right) dx}\)

Potem pierwsza czesc ze wzoru a druga czesc przez podstawienie
Czy masz jakiś inny patent jeszcze?
Ostatnio zmieniony 22 cze 2011, o 20:35 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.

Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

Oblicz całkę nieoznaczoną

Post autor: alfgordon » 22 cze 2011, o 20:39

tak, tylko w mianowniku: \(\displaystyle{ x^2 +1}\)

drooone
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 27 paź 2010, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 10 razy

Oblicz całkę nieoznaczoną

Post autor: drooone » 22 cze 2011, o 20:40

Fakt moj błąd przy przepisywaniu.

Lbubsazob
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4669
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 124 razy
Pomógł: 978 razy

Oblicz całkę nieoznaczoną

Post autor: Lbubsazob » 22 cze 2011, o 21:14

Drugiej nie musisz przez podstawienie, doprowadź do takiej postaci żeby licznik był pochodną mianownika (co w tym wypadku nie jest trudne).

drooone
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 27 paź 2010, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 10 razy

Oblicz całkę nieoznaczoną

Post autor: drooone » 22 cze 2011, o 22:30

Mam jeszcze pytanie moze ktos jeszcze znajdzie czas aby na nie odp.

Czy jest jakis sposób na przejscie z tej postaci

\(\displaystyle{ \int\frac{1}{x^{3}+x}}\) na taka \(\displaystyle{ (\int\frac{1}{x}-\int \frac{x}{x^{2}-1})}\)

Bo przyznam sie szczerze ze wpadłem na to przypadkiem
a chodzi mi o jakis "mechaniczny" sposób jak w przypadku poniżej:

Przykład:

\(\displaystyle{ \int\frac{x-1}{x+1}}\) teraz sposób którego mnie nauczono

do licznika dodaje i odejmuje \(\displaystyle{ 1}\)

\(\displaystyle{ \int\frac{x-1+1-1}{x+1}}\)

co pozwala mi przejsc na taka postac

\(\displaystyle{ \int\frac{x+1}{x+1}- \frac{2}{x+1}}\) Po uproszczeniu

\(\displaystyle{ \int1- \frac{2}{x+1}}\) i tu juz licze całke z pierwszego i z drugiego bez problemu

Czy istnieje podobny sposób na rozłożenie na ułamki proste mojego pierwszego rownania
Wiem ze byc może powinienem robic to w głowie automatycznie
ale narazie cos mi nie idzie.

Z góry dzieki za odp.

Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

Oblicz całkę nieoznaczoną

Post autor: alfgordon » 22 cze 2011, o 22:38

\(\displaystyle{ \frac{1}{x(x^2 +1)} =\frac{A}{x} +\frac{Bx+C }{x^2 +1}}\)

mnożysz obustronnie przez mianownik i wyliczasz: \(\displaystyle{ A,B,C}\)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9335
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2046 razy

Oblicz całkę nieoznaczoną

Post autor: Dasio11 » 22 cze 2011, o 22:46

Lbubsazob pisze:Drugiej nie musisz przez podstawienie, doprowadź do takiej postaci żeby licznik był pochodną mianownika (co w tym wypadku nie jest trudne).
Ta metoda nazywa się właśnie całkowaniem przez podstawienie. :)

Lbubsazob
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4669
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 124 razy
Pomógł: 978 razy

Oblicz całkę nieoznaczoną

Post autor: Lbubsazob » 22 cze 2011, o 22:54

Wychodzi na jedno, ale na ćwiczeniach mieliśmy to tak wyprowadzone, że to niby są dwie różne metody. Jak przez podstawienie, to trzeba pisać \(\displaystyle{ t=x^2+1, \ \mbox{d}t=2x \mbox{d}x}\) i tak dalej, a ta druga metoda to po prostu od razu patrzy się na całkę i doprowadza do takiej postaci, żeby skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ \int \frac{f'(x)}{f(x)} \mbox{d}x =\ln\left| f(x)\right|+C}\).

drooone
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 27 paź 2010, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 10 razy

Oblicz całkę nieoznaczoną

Post autor: drooone » 22 cze 2011, o 23:55

Dobra juz wiem
Po prostu umknał mi taki "mały" dział który sie zwie "Całki wymierne"
No i tam sie znajduja takie cuda jak:
-rozklad na ułamki proste
-przekształcanie licznika tak, aby cześć jego skladników była równa pochodnej mianownika
-sprowadzanie mianownika do postaci kanonicznej

No i kolejny wieczór z głowy

ODPOWIEDZ