Dowód indukcyjny - sumy

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
Cabalerio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 9 cze 2011, o 15:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Dowód indukcyjny - sumy

Post autor: Cabalerio » 22 cze 2011, o 19:14

Witam, dostałem do zrobienia kilka dowodów indukcyjnych, ale 2 z nich mnie zastanawiają.
Są to:
\(\displaystyle{ 1-2+3-4+...-2n = -n}\)

\(\displaystyle{ 1-4+9-16+... -(2 n^{2})=-n(2n+1)}\)

Nie mogę znaleźć pierwszej wartości dla której są one prawdziwe. Czy możliwe by na tym etapie już były nie prawdziwe ? Może ktoś widział podobne(znaczy niemal identyczne) przykłady, które różniły się jednym + bądź -, może po prostu źle je przepisałem.
Ostatnio zmieniony 23 cze 2011, o 18:20 przez Althorion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.

akurczak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 20 lis 2008, o 20:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1 raz

Dowód indukcyjny - sumy

Post autor: akurczak » 22 cze 2011, o 19:25

Oba sprawdzają się już dla jedynki Zwróć uwagę, że lewa strona kończy się na 2n, a nie na n. Na przykład w pierwszym dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ L=1-2=-1}\) oraz \(\displaystyle{ P=-1}\)

Cabalerio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 9 cze 2011, o 15:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Dowód indukcyjny - sumy

Post autor: Cabalerio » 22 cze 2011, o 19:33

O jaki jestem głupi, myślałem że 1 to pierwszy element a jest nim 1-2.

Edit: Dalej nie wiem jak zacząć udowadniać dla n+1.

\(\displaystyle{ 1-2+3-4+...-2n+(2n+1-2(n+1)) = -n + 2n+1-2n-2 = -n -1}\)
Ok to pierwsze mi wyszło, dzięki.
Ostatnio zmieniony 23 cze 2011, o 17:12 przez Cabalerio, łącznie zmieniany 2 razy.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26916
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4500 razy

Dowód indukcyjny - sumy

Post autor: Jan Kraszewski » 22 cze 2011, o 20:09

A od kiedy to \(\displaystyle{ 1-2=-2}\)?

JK

Cabalerio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 9 cze 2011, o 15:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Dowód indukcyjny - sumy

Post autor: Cabalerio » 23 cze 2011, o 17:12

Mam problem z tym drugim przykładem, pomoże ktoś ? Nie wiem jak napisać równanie dla n + 1.

akurczak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 20 lis 2008, o 20:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1 raz

Dowód indukcyjny - sumy

Post autor: akurczak » 23 cze 2011, o 17:33

To dlatego, że tw. nie jest prawdziwe, gdyż lewa strona powinna kończyć się na \(\displaystyle{ -(2n)^{2}}\), a nie \(\displaystyle{ -(2n^{2})}\)
Myślę, że teraz nie powinno być problemów.

darek334
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 171
Rejestracja: 23 lut 2011, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 4 razy

Dowód indukcyjny - sumy

Post autor: darek334 » 15 sie 2011, o 08:57

a ja nie rozumiem tego przykładu , wytłumaczy ktoś ?

bo pierwszy element rozumiem że powstaje z 1 czyli \(\displaystyle{ 1 - 2n= 1- 2 \cdot 1 = 1-2}\), ale drugiego łańcuszka nie rozumiem skąd ta 3 ?? Nie za bardzo rozumiem jak powstają kolejne elementy ciągu ?

pzdr.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26916
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4500 razy

Dowód indukcyjny - sumy

Post autor: Jan Kraszewski » 3 wrz 2011, o 14:23

Ten ciąg sum wygląda tak:

\(\displaystyle{ a_1=1-2\\ a_2=(1-2)+(3-4)\\ a_3=(1-2)+(3-4)+(5-6)\\ ...}\)

Zatem ogólny wzór na ten ciąg sum jest taki:
\(\displaystyle{ a_n=(1-2)+(3-4)+(5-6)+...+((2n-1)-2n)= \sum_{k=1}^{n}((2k-1)-2k)}\).

JK

ODPOWIEDZ