Równania różniczkowe 2 rzędu.

[KaTe90]

Proszę o pomoc przy rozwiązaniu równań:

1.Znaleźć rozw. ogólne mając dane jedno rozwiązanie.
\(\displaystyle{ y" + y = 0}\) ; \(\displaystyle{ y_{1}= \sin x}\)
\(\displaystyle{ xy" + 3y' = 0}\) ; \(\displaystyle{ y_{1}=1}\)

Jak to trzeba zrobić?
Najpierw mam zrobić pierwszą i drugą pochodną \(\displaystyle{ y_{1}}\) i podstawić do równania?

[lukasz1804]

Zapoznaj się z metodą rozwiązywania równań liniowych drugiego rzędu opisaną w 253812.htm .

[KaTe90]

Znalazlam jakieś resztki notatek czy to jest dobre rozwiązanie.

1.
\(\displaystyle{ y" + y =0 ;y_{1} = \sin x \\
y= C_{1} y_{1} + C _{2} y _{2} \\
y _{2}=C(x) y_{1} \\
y _{2}=C(x) \sin x \\
P(x)= 0 \ P(x)- \text{wartośc przy} \ y' \\
C(x) = \int \frac{e ^{ \int P(x) \mbox{d}x } }{ (y_{1})^2 } \mbox{d}x \\
C(x) = \int \frac{e ^{ \int 0 \mbox{d}x } }{ \sin ^ 2X } \mbox{d}x = \ctg X \\
y _{2}=C(x) y_{1} = \ctg x \cdot \sin x = \cos x \\
y _{og}=C_{1} \sin x + C_{2} \cos x}\)

2.
\(\displaystyle{ xy" + 3y' =0 ; y_{1}=1 \\
xy" + 3y' =0 \ \text{dzielę przez X} \\
y" + \frac{3y'}{x} =0 \\
P(x)= \frac{3}{x}}\)

i dalej podstawiem do wzoru
\(\displaystyle{ C(x) = \int \frac{e ^{ \int P(x) \mbox{d}x } }{ (y_{1})^2 } \mbox{d}x \\
\text{i wychodzi mi} \ c(x) = \frac{ x^{-2} }{2} \\
y _{og}=C_{1}+C_{2}(- \frac{1}{2x ^{2} })}\)

Czy to chociaż po części jest dobrze?